许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．
一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区a、b提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从a，b到它的距离之和最短？
解：如图（2），只要画出a点关于直线l的对称点c，连结bc交直线l于p，则p点就是所求。这时pa+pb=pc+pb为最小，（因为两点之间线段最短）。
（证明：如图（2），在l上任取一点p1，连结p1a，p1b，p1c，因为p1a+p1b=p1c+p1b>bc=pa+pb。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。
）二）应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），∠aob内有一点p，在oa和ob边上分别找出m、n，使δpmn的周长最小。
解：如图（4），只要画出p点关于ob、oa的对称点p1，p2 ，连结p1、p2交ob、oa于m、n，此时δpmn的周长pm+pn+mn=p1p2为最小。（证明略）
例2、在图（1）中，若a到直线l的距离ac是3千米，b到直线l的距离bd是1千米，并且cd的距离4千米，在直线l上找一点p，使pa+pb的值最小。求这个最小值。
解：如图（1）①所示，只要过a1点画直线l的平行线与bd的延长线交于h，在rt△a1bh中，a1h=4千米，bh=4千米，用勾股定理求得a1b的长度为4千米。即pa+pb的最。
小值为4千米。
1 利用轴对称计算角的度数。
例1 如图，在△abc中，，为△abc形内一点，使得，．求的度数．（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））
例2 如图，在△abc中，，是bc边上的一点，，．试求的度数．
2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等。
例3 如图，在△abc的边ab、ac上分别取点q、p，使得．求证：．
3 利用轴对称求图形的面积。
例4 在四边形abcd中，，，求四边形abcd的面积．
4 利用轴对称探求几何最值。
例5 如图，，p为角内一点，，两边上各有点q、r（均不同于o），则的周长的最小值为。
2023年第12届“五羊杯”邀请赛试题）
巩固练习：1、（希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形abcd中，∠dab=1200，点e平分bc，点p在bd上，且pe+pc=1，那么边长ab的最大值是。
2、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）
a） 4+英里 （b） 16英里 （c） 17英里 （d） 18英里。
3、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形abcd的边长为3，e在bc上，且be=2，p在bd上，求pe+pc的最小值。
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