数值分析实验报告。
一、实验目的。
1] 掌握gauss顺序消去和选列主元消去解线性方程组基本原理和方法。
2] 用matlab编写程序实现gauss顺序消去和选列主元消去解线性方程组。
二、实验内容。
1. 用lu分解及列主元高斯消去法解线性方程组。
输出中系数分解的矩阵，解向量及。
二．**。1、gauss顺序消去和选列主元消去解线性方程组基本原理和方法：
a、高斯列主元消去法的原理：
gauss消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式：
这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下：
对于，若依次计算。
然后将其回代得到：
以上是高斯消去。
但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。
即高斯列主元消去法。
b、高斯列主元的**：
function gauss(a,b) %a为系数矩阵，b为右端项矩阵。
m,n]=size(a);
n=length(b);
for k=1:n-1
[pt,p]=max(abs(a(k:n,k)))找出列中绝对值最大的数。
p=p+k-1;
if p>k
t=a(k,:)a(k,:)a(p,:)a(p,:)t; %交换行使之变到主元位置上。
t=b(k);b(k)=b(p);b(p)=t;
endm=a(k+1:n,k)/a(k,k开始消元。
a(k+1:n,k+1:n)=a(k+1:n,k+1:n)-m*a(k,k+1:n);
b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);
a(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);
if flag~=0
ab=[a,b];
endend
x=zeros(n,1); 开始回代。
x(n)=b(n)/a(n,n);
for k=n-1:-1:1
x(k)=(b(k)-a(k,k+1:n)*x(k+1:n))/a(k,k);
endfor k=1:n
fprintf('x[%d]=%f',k,x(k));
end2、lu分解法的**：
function lu(a,b) %a为系数矩阵，b为右端项矩阵。
m,n]=size(a); 初始化矩阵a，b，l和u
n=length(b);
l=eye(n,n);
u=zeros(n,n);
u(1,1:n)=a(1,1:n开始进行lu分解。
l(2:n,1)=a(2:n,1)/u(1,1);
for k=2:n
u(k,k:n)=a(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);
l(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);
endl %输出l矩阵。
u %输出u矩阵。
y=zeros(n,1); 开始解方程组ux=y
y(1)=b(1);
for k=2:n
y(k)=b(k)-l(k,1:k-1)*y(1:k-1);
endx=zeros(n,1);
x(n)=y(n)/u(n,n);
for k=n-1:-1:1
x(k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1:n))/u(k,k);
endfor k=1:n
fprintf('x[%d]=%f',k,x(k));
enddisp(det(a))
三。数值结果。
1、高斯列主元解法的结果如下：
2、lu分解法的结果如下：
四．计算结果的分析：
答：高斯消元法变量的微小变化会导致结果很大的误差，lu分解避免了这个，得到的结果。
还行。五。 计算**现的问题，解决方法及体会。
答：计算中若不在输入矩阵a和b之前加：format long g 输出a、b的会得不到准确值。程序还是不太理解，还得加强对这个方法的理解。
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