初中数学概念教学反思与改进。
—以七年级概念教学为例。
上海市三新学校朱冬新。
摘要：数学概念是整个数学理论体系的最基本元素，数学中的各种定理都是基于数学概念通过逻辑推理得到的。学生只有真正掌握了数学概念的核心，才能正确地掌握并使用数学中的定理和法则。
本文针对数学概念教学中的一些问题进行反思，通过七年级数学核心概念教学设计理论与实践研究为载体，提出了改进核心概念教学策略之一。
关键词：概念教学核心概念概念的核心教学策略
数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延。
如七下①等腰三角形内涵就是等腰三角形所代表的所有对象的本质属性：两腰相等，两底角相等， “三线合一”等；等腰三角形的外延包括了一般的等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等。概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，它们是构成概念的统一而不可分割的两个方面。
在初中数学教学中，加强概念课的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础。因此在数学教学过程中，数学概念的教学尤为重要。
一、 目前概念教学中存在的一些问题。
1. 概念引入时过分注重场景而忽略了目的。
课堂教学引入得当，直接影响到激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使学生投入到课堂教学中去。但不少教师注重在概念教学中创设问题情境，过于注重激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望，而忽略了目的。例如，某位数学教师在七上①“对称图形”概念教学中，设计了“在优美的小提琴协奏曲'梁祝化蝶'选段的渲染中，学生开始观察'碧草清清花盛开，彩蝶双双久徘徊'的优美画面”的导入情境，接着提问学生：
蝴蝶有什么特点？学生答道：“蝴蝶很漂亮”“一只蝴蝶大，一只蝴蝶小”……不难看出，上述导入情境虽赏心悦目，但充斥了许多与教学内容无关的信息，离数学中的对称图形知识相去甚远。
导入活动占用了较长时间，却没有一个学生从对称的角度指出蝴蝶图案的特点，未达到教学设计的预期目标。
2. 概念形成时急于组成文字或者抄概念，而轻概念的形成过程。
一般概念的形成要先感知后认知两个阶段。感知是人们认识事物。
注①“七上”所知七年级第一学期数学教材；“七下”所指七年级第二学期数学教材上海教育出版社。
不可或缺的心理过程，是对事物外部特征的直接反映，属于认识过程的感性阶段。感知所提供的对事物的认识是简单的、表面的、零散的。而认知是在感知的基础上，在通过大脑反思琢磨后，能用精炼的语言概述出来，这中间的过程称为认知。
感知不等于认知，但往往有些老师把感知代替了认知。例如，在七下“三角形的稳定性”教学中，比较普遍的做法是通过教师演示或让学生用手拉三角形木架感知是否坚固、不变形，并以此解释三角形的“稳定性”，而忽视从“三角形三条边的长度一定时，三角形的形状和大小不变”“不在同一线上的三点确定一个平面”上引导学生理解三角形的稳定性，误导了学生。笔者认为，考虑到七年级学生的思维处于形象思维逐步向抽象思维过渡的发展阶段，在数学概念教学中，重视直观性、感知、体验，无疑是必要的。
但如果止步于对事物的感知，忽视对概念本质特征的抽象与概括体验过程，这样做实际上低估了学生的学习能力，势必影响到对概念的理解。
3. 概念理解时注重记忆，忽视了对概念本质的理解。
在概念教学中，重记忆、轻理解的现象主要表现为以下两点：
其一是偏重形式记忆。数学中有一些概念是以符号语言或用式子举例的形式表示其意义的，而且在运用中又往往直接和这些符号或式子打交道。由此造成一些教师在教学中疏于引导学生对概念意义的理解，偏重于学生记忆概念的外部表现形式。
例如，在七上“代数式”概念教学中，教师先让学生记住：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。然后补充说运算符号指的是加减乘除还有开方，另外单独一个数或一个字母也是一个代数式，这些只让学生。
实践证明学生最终还是不知道为什么a>0不是代数式，也不知道为什么a和1是代数式的合理性，如果老师解释一下，a=而单独的一个数可以表示特殊的量，比喻1可以表示一项工程（六年级遇到过）或者一个班级，一群人等所以称为代数式有一定的合理性。经验告诉我们，无论图形还是概念、名词，不理解其意义，单纯的、机械的形式记忆是靠不住的。形式记忆会影响学生后续知识的学习，是一种短视的教学行为。
其二是偏重概念复述。概念的定义或描述是对概念本质特征和外延的说明，它是判断、解释、推理和应用的基础。怎样让学生掌握概念？
有些教师只是简单地让学生复述一遍概念的定义。结果，学生虽会背概念，但遇到具体问题时，却茫然不知如何用概念，即所谓“死知识”。例如七下平面直角坐标系概念：
所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫横轴（记为x轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记为y轴），如图记作平面直角坐标系。这个概念文字较多，更多的是描述图形的构成，这种“描述性”概念即使学生能一字不漏的复述或背诵，他们依然不能领悟直角坐标系的真正含义，必须有前面的例证和对“有序数对”的感悟，才会理解平面直角坐标系的含义。因此，衡量学生是否理解和掌握概念，不是看他会不会说概念或背概念，而是看能否在具体情境中做出正确判断、解释和运用。
4. 概念应用时过分注重反复练习，而忽视了例题的针对性和代表性。
应用既是概念学习的目的，也是深化概念学习的手段和途径。因此，重要概念的应用教学不仅仅要关注问题的解决，还要关注对概念的深化理解，探索概念要素之间的新关系（即概念的其他性质），拓展对概念的认识。但有部分老师没有抓住概念的本质属性，过分考虑题目的难度和数量，达不到进一步理解概念的效果。
例如，在“中心对称”概念运用时，第一题就“先画一个钝角三角形关于o点成中心对称的图形，再画出凹五边形abcef关于o中心对称的图形，并且这个点o在五边形内部。画五边形这个完全没必要，这是反复练习，刻意加大难度，有三角形就可以了，还有o点位置可以从外到内逐步移动，学生有个体验的过程。
上述四个方面的问题既有区别又有联系，一方面反映了一些教师在概念教学理念上的偏差，另一方面也反映了部分教师在数学概念理解上的偏差。
二、 核心概念教学策略。
1. 概念的引入 :用实际事例或事物、模型引出概念。
实践经验告诉我们，当人们听到一个概念时，在他们头脑里出现的不是该范畴所有成员都具有的共同特征，而是该范畴的原型或最佳实例。由此可见，提供范例，丰富学生的表象是概念教学的第一步。范例与表象都是学生获取概念的重要条件和基础。
范例从外部提供反馈信息，有助于学生掌握概念的定义特征；表象具有直观性与概括性的特征，是从具体感知到概念教学形成的过渡和桥梁。所以不管概念多复杂，进行概念教学的关键就是提供一组能突出概念的定义特征的范例。范例的特征越明显，学生越容易观察，引出概念越自然明了。
例如在《中心对称》概念教学引入时，学生先观察再思考然后猜想：下列每组中的两个图形有什么共同特征？
第1组。第2组。
第3组。这种引入要比教材单个一个太极图直观，更能表现“中心对称”的概念特征，原因是太极图有部分学生不认识，不容易看成两个图形，即使看成两个图形，也比较难观察出他们的位置关系，而这位老师引入中，都是学生生活中熟知的例子并且是由生活**逐步过渡到数学图形，能自然的引出概念，最主要每组都能很好的体现两个图形，他们的位置关系也比较容易观察出，即概念的特征在这些**形能较好体现出来。因此在概念教学中，教师要很好的体现主导作用，要注意引好路，注意培养学生的观察事物及数学归纳推理的严密性。
选择实例应注意代表性，例子的典型性和丰富性要求能充分体现概念的内涵和外延。
2、概念的形成：学生在教师的提问中反思体验概念的形成
在学生对举例有了感性认知后，教师主要通过“问题串”形式发问，经过分析、对比、归纳、抽象，最后形成理性的概念。这个过程，重点是教师的发问和启迪要得当，这样有助于后面的概念理解，有助于学生的数学思维发展和语言表达能力的提高。 例如“中心对称”概念的形成过程中老师的问题串：
t1：上述各组中的两个图形有什么共同特征呢？
学生思考、疑惑、回答不完整……
t2：在我们几何图形中，所谓的“共同特征”无外乎图形的形状、大小和位置。
学生初步能回答出“形状相同、大小相等、转能叠在一起|
t3：这只是一个你们通过观察，猜想出来的结果，我们必须要加以验证，下面我们借助**来验证。（教师用几何画板动画演示）
t4：通过验证，说明刚才我们很多同学说的都是正确了，你们能否用完整的语言表述他们的特征呢？
学生初步能答：形状相同，大小相等两个图形绕着原点旋转，两图形重合。
t5：你们的表述有重复描述图形特征的，请你们找一找，然后去掉？
学生找重复的词的过程，在学生的争论中然后得到了：把一个图形绕着一个点旋转后，与另一个图形重合。
t6：把具有这种特征的两图形我们说成这两个图形关于这点对称，也叫这两图形成中心对称。
在这个概念教学中，教师通过“问题串”进行对学生追问，发问紧紧围绕主题，把“概念形成过程”体现的淋漓尽致，自然流畅，充分发挥学生的主动性和积极性，学生首先由不完整、不准确且复杂表述到最后完整、简洁、准确的概念，是通过自己反复修正、思维再修正这样一个过程，为后面概念的更深层次理解做好了铺垫。当然还有一类描述性概念，可以采用概念同化。所谓概念同化，就是利用学习者认知结构中原有的概念，以定义或描述的方式直接向学习者揭示新概念的本质属性，进而使学习者获得概念的过程。
也就是以间接经验为基础，利用已掌握的概念去学习新概念的过程。例如七上分式的概念：形如a/b，a、b是整式，b中含有未知数且b不等于0的式子叫做分式。
可以通过比较整式概念达到对分式概念的形成与理解。
3、概念的理解：挖掘概念的内涵和外延
概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念。促进对概念理解的途径有：
1) 剖析概念中关键词语，通过正例与反例理解其真实含义。
概念教学时找关键词和通过范例归纳是必不可少的，尤其在教那些对学生而言是比较难的概念时，需要运用较多的范例。正例传递的信息最有利于概括，为了便于学生从例子中概括出共同的特征；反例传递的信息则最有利于辨别，适当运用，有助于加深对概念本质的认识；所以教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习。
例如，如何理解 “中心对称”概念中的关键词 “绕某点旋转180度后重合”。然后分两个层面达到理解：
第一层面：从图形整体上初步理解。
1、下面有四**中的两个图形成中心对称的是
abcd2、下面请你们拿出双手，在这里我们认为自己的两只手形状大小都一样。那么这样的两只手具备了能重合的基本条件，请你们摆放一种能成中心对称的手势，同桌之间相互判断。
第二层面： 从图形构成要素上细化理解。
1、学生找对应线段和对应角位置关系及数量关系。
2、学生找对应点和对称中心之间的位置关系及数量关系。
本例中第一层面是通过练习和操作来达到学生整体认识概念这一目的，但能力要求不一样，层次分明，首先是通过定义或者前期的观察、验证、归纳前三**形特征的经验来选取成中心对称的字符；而后面操作不仅需要用定义来判断，还需要动脑摆放位置，再判断，再摆放……在这个过程，学生对概念的整体认识棱廓越来越清晰。这两个环节中，教师始终抓住了“如何判断的？”这一关键问题，其实答案就是定义。
另外在摆手造型，教师补充了一句：其实这双手可以快速摆出很多种成中心对称的造型来，课后大家继续研究？这是对概念更深层次的理解，因为对称中心很多，学生可以逆向思维。
第二层面则是自然过渡到图形构成的基本要素上**核心性质。应注意的是，在运用范例说明概念时，需符合三条原则：①按由易到难的顺序呈现范例；②选择彼此各不相同的例子；③比较正例和反例。
七年级数学核心概念的整理及教学策略
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