[标题] 代数期末总复习。
内容]七年级下代数期末总复习。
目的与要求：
1. 使学生理解每章的知识要点并灵活应用；
2. 使学生了解二元一次方程组和它的解的概念，灵活运用代入法，加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能列出二元、三元一次方程组解应用题。
3. 使学生了解不等式，一元一次不等式、一元一次不等式组以及它们的解集等概念，掌握不等式的基本性质，并能用它们解一元一次不等式，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。
4. 使学生掌握幂的运算性质和整式的乘除法则，灵活运用乘法公式进行计算，会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算。
知识要点：一、概念。
1. 二元一次方程：一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数是1，像这样的方程，称做二元一次方程。
2. 二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
4. 二元一次方程的一般形式是。
二元一次方程组的一般形式是。
5. 不等式：用不等号表示不等关系的式子，称做不等式。
6. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
7. 解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
8. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这样的不等式叫做一元一次不等式。
9. 一元一次不等式的标准形式：或。
10. 一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
11. 解不等式组：求不等式组的解集的过程，称做解不等式组。
二、二元一次方程组的解法。
1.代入消元法，简称代入法，它的一般步骤是：
1) 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的代数式表示出来，也就是写成的形式；
2) 将代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程组；
3) 解这个一元一次方程，求出x的值；
4) 把求得的x的值代入中，求出y的值，从而得到方程组的解。
2.加减消元法，简称加减法，它的一般步骤是：
1) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；
2) 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3) 解这个一元一次方程；
4) 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
3.三元一次方程组。
三元一次方程的一般形式是，在一般情形下，三元一次方程有无穷多个解。
三元一次方程组：由几个一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组，它的一般形式是：
三元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元，先消去同一未知数得到二元一次方程组，解这个二元一次方程组求出两个未知数的值，然后再求第三个未知数的值。说明：
解方程组的基本思路是“通过消元”把多元方程转化为一元方程。
三、性质及法则、公式。
1.不等式的三条基本性质：
1) 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
2) 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3) 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2.同底数幂的乘、除法法则。
1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
m，n都是正整数）
2) 同底数幂相除，底数不变，指数相减；
（，m，n都是正整数，m＞n）
3.幂的乘方与积的乘方。
1)幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（m，n都是正整数）
2)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（n为正整数）
4.单项式的乘法与多项式的乘法。
1)一般地，单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
5.任何不等于0的数的0次幂都等于1。
任何不等于0的数的－p次幂（p是正整数），等于这个数的p次幂的倒数。
6.单项式除以单项式，多项式除以单项式。
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一次除以这个单项式，再把所得的商相加。
7.乘法公式：
─平方差公式。
─完全平方公式。
─立方和（差）公式。
四、列方程（组）解应用题。
列方程（组）解应用题的一般步骤是：①审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系；②设未知数：
根据题意，选择适当的未知数用字母表示出来；③列代数式：根据题中所给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其它的未知数；④列方程（组）：利用列代数式时没有用过的等量关系，列出方程（或方程组）。
⑤解方程（组）；⑥检查方程（或方程组）的解是否符合题意，并根据应用题的实际意义，写出答案。
在以上的步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。列方程时，要注意列出的方程必须满足三个条件：第一，方程两边表示同类量。
第二，方程两边的同类量的单位一样。第三，方程两边的数值相等（等量）。如果所列方程或方程组中有分式方程，既要检验是否是原方程的解，又要检验是否符合应用题的题意。
五、一元一次不等式（组）的解法。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但一定要注意当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变。
解一元一次不等式组应分别求出该不等式组的每一个不等式的解集，再求这些解集的公共部分。由两个一元一次不等式组成的不等式组成的不等式组，经过整理，可以归纳为以下四种形式：
如果，那么它们的解集分别是①；②空集；③；
含有绝对值符号的不等式：
不等式的解集是，不等式的解集是。
重点与难点分析：
重点：二元一次方程组的解法：列出二元一次方程组解简单应用题；一元一次不等式的解法；整式的乘除法。
难点：列二元一次方程组解应用题；不等式的解集和不等式组的解集以及运用不等式基本性质3；乘法公式的运用。
典型例题：例1、解方程组或不等式（组）
解：(1)将原方程组去掉分母整理成。
×3－②得。
将代入①得。
方程组的解为。
解：(2)
故不等式组的解为。
3)法一：
－①得 ④＋④得，∴代入 ②
代入①法二：①+得。
即 ④－①得；
－②得。－③得。
由①得；由②得；由③得。
不等式组的解为。
解：(5)∵＜0
① 或 ②由① ∴
由② 无解。
原不等式的解为。
6)移项得。
去负号。去绝对值符号即。
例2、求值：
1)已知：（）求x : y和y : z？
2)计算：m取什么整数时，的解是正数？是正整数？求出它的解。
3)已知方程组的解满足求a的取值范围？
4)已知：，求n的值。
5)已知：求，的值。
6)除以的余式为，求的值。
7)已知，求x的取值范围。
解：(1)
－②得： 即③
将③代入②，得。
即。将④代入②，得。
即， 解：(2)
－②×2得： ∴
由②得： 由题意：， 即，
当m为大于－4的整数时，方程组的解为正数。
要使x，y都为正整数，就必然能被4整除，且m + 4＞0，分解因数4 = 1×4 = 2×2
再将分别代入得：
当时，；当m =－2时，；当m = 0时，
说明：此小题涉及到了整除的特征：
尾数是的数能被2整除。
尾数是0，5的数能被5整除。
最后两位数若能被4整除，则这个数本身就能被4整除。
如：312，∵12÷4 = 3，∴312能被4整除。
最后三位数若能被8整除，则这个数本身就能被8整除。
如：4816，∵816÷8 = 102，∴4816能被8整除。
各个数位的和若能被3整除，则这个数本身能被3整除。
解：(3)
×3－②×2得：
×4－②×3得：
由题意令， 得：
解：(4)
解：(5)
将代入得：解：(6)
由此可见余式。
由题意。解：(7)去掉绝对值符号，就得分段考虑：
1)当时，式**现x和原等式不符。
2)当x＞5时，式**现x和原式不符。
3)当1≤x≤5时，和原式相符，因此1≤x≤5。
此题是把整个数轴分为三部分考虑的，因为要去掉绝对值符号，必须分清绝对值符号内的数的正负，这样就得分段考虑，这是在处理含绝对值符号的不等式、等式、方程中常用的方法。
例3、计算：
1)不等式的解集是x＞2，求a的值。
2)k为何值时，关于x的方程的解是正数？
解：(1)
由题意，原不等式的解集是x＞2令，∴
解得： 由题意 x＞0
故令。解得。
例4、解应用题：
1)有浓度为4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后，变成10%的盐水，再加进300克的4%的盐水，混合后变为6.4%的盐水，问最初的盐水多少克？
分析：设最被的盐水有x克，蒸发掉的水量为y克，先考虑蒸发前后的情况：
蒸发前盐的重量为x·4%克。
蒸发后盐水的重量为克，其中盐的重量为·10%克由蒸发前后盐的重量相等可行到。
再考虑混合前后的情况，根据混合前后盐的重量相等可得到。
因此此题可解。
解：设最初的盐水有x克，蒸发掉的水有y克，依题意列出方程组为。
化简为。克。
答：最初的盐水有500克。
2)甲、乙两人在400米环形跑道上同一起跑点同时相背起跑，25秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟乙才赶上甲，求甲、乙两人的速度（假设两人速度都是不变的）。
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