第二讲几何模块之立体几何。
一、长方体与正方体。
1. 长方体与正方体的基础概念与表面积、体积公式：
正方体：，
长方体：，
对于立体图形来说，每切一刀，表面积增加2个切面。
对应题目：例1、b1、b7、补充1
补充1（强调计算出的面数，不是具体表面积）
一个正方体木块，棱长是5米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么新得到的这24块长方体的表面积之和是多少？
解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2 增加的面数．
原正方体表面积：5×5×6150(平方米)，一共锯了(21) (31) (41) 6次，所以表面积为150×5×5×2×6450(平方米)．
2. 三视图法求表面积（注意凹槽）
对于由若干个小正方体组成的堆积体来说，它的表面积为：
正视、俯视、侧视三个方向看见的面数之和 + 凹槽数）× 2 × 每个面的面积。
对应题目：例2、b2、补充2
补充2（注意底面涂不到）
将个棱长为的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ）
解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。因此被染色的面有个面，染上红色的面积为36。
3. 染色问题（了解即可）
当长宽高都大于等于2时（分别设为a、b、c）：
三面染色的有：8个 （角上）；
两面染色的有：4【（a-2）+（b-2）+（c-2）】个 （棱上）；
一面染色的有：2【（a-2）（b-2）+（a-2）（c-2）+（b-2）（c-2）】个 （面上）；
没有染色的有：（a-2）（b-2）（c-2）个 （内部）；
对应题目：例3、练一练。
二、圆与扇形（圆柱和圆锥的铺垫知识）
1. 圆与扇形的概念与公式：
圆：， 扇形：，
对应题目：b3、例4
2. 曲线图形中求面积的常用方法：
1、几何变换（割补、平移、旋转、对称）：例5、补充3
2、阴影面积 = 整体 – 空白（核心方法）：练一练、b4、b9
3、差不变：补充4
补充3如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(取)
解析】把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个的扇形的面积之和，所以。
补充4下图中以ab为直径的半圆与直角三角形abc重叠在一起，ab=20，并且上方的阴影部分面积比下方的阴影部分面积大17，求bc的长度．(取)
解析】两块阴影都加上空白部分差不变，半圆面积为π×10×10÷2=157，所以三角形abc面积为157 – 17 = 140，所以bc = 140×2 ÷ 20 = 14．
三、圆柱与圆锥。
1. 圆柱与圆锥的表面积、体积公式：
圆柱：， 圆锥：，圆锥的表面积小学阶段不要求掌握。
对应题目：例6、b5、练一练（注意“增加”与“增加到”的区别）
2. 旋转问题。
以a为轴旋转得到圆柱，底面半径为b，高为a：
以b为轴旋转得到圆柱，底面半径为a，高为b：
将边长a卷成圆柱，底面周长为a，高为b：
将边长b卷成圆柱，底面周长为b，高为a：
以a为轴旋转得到圆锥，底面半径为b，高为a：
以b为轴旋转得到圆锥，底面半径为a，高为b：
以c为轴旋转得到两个圆锥，底面半径为h，高的和为c：
所以一个直角三角形沿着斜边为轴旋转一周，得到的立体图形体积最小。
对应题目：b6、例7、例8、练一练。
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