第二讲速算与巧算(二)
一、知识概要。
要计算若干个数的运算的末位数是多少，可以先算出部分的积，再从中寻找变化规律，根据其周期性，就可以知道末位数的值。
二、典型例题精讲。
例1. 1×2×3×……35的末尾共有多少个0？
分析这6个因数都包含1个5，当与2的倍数相乘时，积的末尾就会产生一个0。25×24则有2个0。
解：2+1×6=8 (个)
例2. 的末尾数是几？
分析：3×1=33×3=93×3×3=27
发现规律：若干个3连乘，其积的末尾数是这四个数的依次循环。故3的个数(4以上)除以4，余1，末尾是3；余2末尾是9；余3，末尾是7；余0，末尾是1。
解：100÷4=25
余数为0， 原题的末尾数是1。
例……999999999这一数列的和的千位是几？
分析： 万千百十个
解：如图所示，和的千位数是1.
三、历届竞赛试题选讲。
例4. (第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试试题)
已知：a=，问：a除以13，余数是几？
分析： 1991÷13=153……21组)
19911991÷13=1531691……82组)
199119911991÷13=1530 (3组)
余数按依次循环，1991(组)÷3=663(组)……2组。
a除以13，余数跟(19911991÷13)的相同。
解：19911991÷13=1531691……8
a÷13的余数是8
例5. (2024年浙江省小学数学夏令营试题)
设a=，则a被7除的余数是 (
分析：因为能被7整除，也就是说，余数每两次循环；而2001÷7=1000……(1组)所以，a被7除的余数与201÷7的余数相同。
解： 201÷7=28……5 a被7除的余数是5
四、练习巩固与拓展。
1.1×2×3×…×49×50的积的末尾有多少个0？
2.1×1+2×2+3×3+…100×100的结果的末位数是多少？
3.所得的积的末位数是多少？
4.2222个2222相乘，所得的结果的个位数是几？
5.一列数……问第1993个数是几？这1993个数的和是多少？
6.2024年的元旦是星期六，这一年的“五一”劳动节是星期几？
7.自然数从1起按下列顺序排列：
a 1 6 7 12 13……
b 2 5 8 11 14……
c 3 4 9 10 15……
1)489应排在a、b、c中的哪一行？
2)排列489时，a行上共有几个数？
3)500应是b行上的第几个数？
求a×b9.5+55+555+…+和的末三位数是多少？
10.29×42，30×82，31×122，32×162，……那么，第50个算式的结果是。
11.1×2×3×…97×98的末位数是多少？
13.把16把椅子放在圆桌的周围，依次编上1，2，3，4，……15，16的号码(如图所示)。小明从1号椅子上开始出发，顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进136个。
这时小明应该坐在几号椅上？
14. 35位同学，他们身上带的钱从13元到47元，钱数都不相同，但都是整元数，每个同学都把身上带的全部钱多自买了课外书，课外书有两种：3元一本和5元一本，每人都尽量买5元一本的，问他们所买的3元一本的课外书的总数是多少本？
第二讲 《练习巩固与拓展》答案。
1. 在1～50中这四个数使积的末尾有4个这四个数使的末尾有4个这两个数分别与相乘使积的末尾有4个0，故原式的积末尾有12个0。
2.积的个位数变化的周期是十个数依次循环1000÷10=100 (余数为0) (1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×100=4500 结果的末位数是0
3. 7×7×7×…×7的末位数变化的周期是四位数依次循环，30÷4=7…2(组) 原式积的末位数是9
4. 2×2×2×…×2的末位数变化的周期是四位数依次循环。
2222÷4=555……2(组 2222个2222相乘积的个位数是4
5. 1993÷5=398……3(位) 第1993个数是8 (4+2+8+5+7)×398+(4+2+8)=10362
6. 2000是闰年，1-4月分别是31天，29天，31天，30天 (31+29+31+30+1)÷7 = 122÷7=17……3(天) 而从元旦起，按星期。
六、星期天、星期一，七次循环。
五一”这一天是星期一。
7. a、b、c三行每隔6次依次成倍地出现，这样使a、b、c
1)各行的数每隔1个数增加。如a行是…和…交替出现。
某一位数除以6，余数为0或1的，就在a行；余数为2或5的，就在b行；余数为的就在c行。故 489÷6=81……3，489就排在c行。
2)489÷3=163(行)(竖行) 这时a行共有163个数或2×81+1=163
3)500÷6=83……2 2×81+1=167 500应是b行的第167个数。
8. a×b=
9. 解：列成竖式 ……万千百十个。
答：末三位数是275.
11. 在1～98中，有……这些整10数，原式积的末位数必定是0
13. 解：顺时针方向共前进 328×2+136=792 (个) 逆时针方向共前进485×2=970 (个)
实际是逆时针方向前进970-792=178 (个) 178÷16=11……2 (个)
所以，小明从1号椅子出发，逆时针方向前进2个，坐在15号椅子上。
14. 分析，如表所示。
钱数 13 14 15 16 17 18 1947
5元/本 2 1 3 2 1 3 2
3元/本 1 3 0 2 4 1 3
买3元一本书的本数的变化规律是：
1.3.0. 2.4这五个数字依次循环解：35÷5=7 (1+3+0+2+4)×7=70(本)
四年级奥数详解答案第2讲速算与巧算
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