第三讲数阵图。
一、知识概要。
1. 数阵图就是把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的条件。
2. 数阵图的种类，大致分为三种：①封闭型数阵图；②开放型数阵图；③复合型数阵图。
3. 解数阵图的一般方法：
(1) 分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选用使用次数多的数作为关健数。
(2) 依据图中条件，建立所求的和与关健数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
(3) 对其他部位上的数字一般都是作尝试选填，直至符合题为止。
二、典型例题精讲。
1. 把1～6这6个数分别填在图中的○内，使每多边上三个○内的数字和相等。
分析指导：
21+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)
a+d+b=b+f+c=a+e+c,且设a+d+b=k
有：21+(a+b+c)=3k
当a+b+c为最小值，即1+2+3=6时，k=9
当a+b+c为最大值，即6+5+4=15时，k=12
这样就可以确定，三角形每边上的三个○内的数字和在9～12之间。
解：(1)当k=9时，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3则：d=9-(2+1)=6 e=9-1-3=5 f=9-2-3=4
其结果如下图所示：
2)当k=10时，a+b+c=9, 则：的取值有三种可能：
a=1,b=2,c=6 ②a=1,b=3,c=5 ③a=2,b=3,c=4
---种情况，a=1,b=2,c=6,则d=10-1-2=7 (不合题意，舍去)
---种情况，a=1,b=3,c=5,则d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2,
所以结果如图所示。
种情况，a=2,b=3,c=4,则d=10-2-3=5，e=10-2-4=6, f=10-3-4=3, 与b=3
重复，不合题意，舍去。
3) 当k=11时，则a+b+c=12,这时a、b、c的取值，又有如下几种情况：
①a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5与b=5矛盾，舍去。
a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1结果如图所示。
a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,与b=4矛盾，舍去。
4) 当k=12时，则a+b+c=15,这时a、b、c的取值为a=4,b=5,c=6,
d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2 结果如图所示：
综合以上分析，本题有四种不同的填法。
2. 1～12中的部分数字已填入图中，请将其余的数字补充填入，使得每条直线上的四个数的和都相等。
分析指导：①求出1～12的和。每个○内的数都重复计算了一次，六条直线数字之和=1～12的和的2倍。
求出每条直线上的数字之和。
中间数尝试几次便可试出。
解：①1～12的和：(12+1)×12÷2=78
每条直线数字之和：78×2÷6=156÷6=26 b+a=26-10-1=15,则a和b的取值为只能是8和7，这样问题就解决了。结果如图所示：
3. 将1～10这十个数字填入图中的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。
分析指导：这个数的突破口是：题中有3个“正方形”，两个位置上的数字被重复使用。
三个“正方形”的顶点上各数的总和应是：24×3=72，而1～10这十个数字的总和是：(10+1)×10÷2=55，所以中间重复使用的两个数之和应是：
72-55=17，重复使用的两个数的取值范围有10和7；9和8两种情况，本题可能有两种答案，先试第一种：当中间数为10和7时，有：10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合题意，结果如图所示：
再试第二种：当中间数为9和8时，有：
9+7+6+2=24，符合题意，结果如图所示。
综合上述分析，此题有2种填法。
4. 把1～8各数填入图中的○内，使每个面上四个数的和等于18。
分析指导：这是个立体图形，四个顶点上的数字被重复使用，但没有“关键数”，我们可以“1”这个特殊数填入任意一个位置，则和“1”组成18的情况有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先将上述任意一组的四个数放入其中一个面的四个圆圈(大、小数间开)，以其为基础进行调整，可得到答案。
结果如图所示：
5. 20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入图中的○内，(“3”已填好) ，使得箭头线连接的四数之和都相等。
分析指导：要填的七个数是。这七个数之和是：
1+5+7+11+13+17+19=73。最后一个○里的数是关键数。因为两头一去掉，中间只有6个字，(73-1)÷3=24，也就是说，中间每组两数之和是24。
当最后一个○内填1时，则中间六个数为：5和19，7和17，11和13，结果如图所示：
当最后一个○内填5时，则中间六个数的和为73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填7时，则中间六个数的和为73-7=66，66÷3=22，22-19=3，不合，舍去。当最后一个○内填11时，则中间六个数之和为73-11=62，不能被3除，不合舍去。
当最后一个○内填13时，则73-13=60，60÷3=20，20-17=3，超出可选范围，不合，舍去。当最后一个○内填17时，则73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填19时，则73-19=54，54÷3=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。
符合题意，结果如图所示：
综合上面分析，本题有两种填法。
6. 将1～12这十二个数分别填入图中的○内，使每条线上五个数的和相等，并且两个六边形六个顶点上○内的数的和也相等。
分析指导：1.先考虑每条线上五个数和相等 2.再考虑六个顶点上的数的和相等。
1. 1～12的和为：(12+1)×12÷2=78 每行四个○内的数之和应该是78÷
3=26, 26÷2=13则为两个○内数之和，两数之和为13的情况有：1和12，2和11，3和10，5和8，6和7如图所示：
2.为满足六个顶点数字之和相等，其数字之和应该是26+13=39。将右图适。
当调整可得。结果如图所示。
三、练习巩固与拓展。
1. 将六个数，填在图中的“○”里，使每条线上的三个数的和都是18。
2. 图中有10个小三角形，4个大三角形，请把0～9填入小三角形内，使4个大三角形内。
的数字之和相等。
3. 把1-8个数分别填入图中的○里，使四边形每条边上三个数的和都等于12.
4. 把10～19这十个数分别填入右图中的○内，使三角形每条边上四个数的和相等。
5. 在下图中各圆的空含部分填上，使每个圆中4个数的和都是15
6. 将数字1～7填入图中圆锥的7个小圆圈内，使三条线段上的3个数之和，两圆周上3个数之和均相等。
7. 将1-7这七个数字填入图中的○内，使每条线上三个数的和相等。
8. 在图中的几个○内各填一个数，使每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么x =
9. 将…19，这十个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等。
10. 将1～8这八个数字分别填入图中，使每个圆圈上五个数的和分别为。,
1.每条线三个数的和是18，三条线九个数的和18×3=54，但三个顶点上的数已重复计算，所以应用54(4+5+6+7+8+9)的和，即54-39=15这个“15”就是三个顶点上的数的和。
2. 解：①中心那个特殊位置放“0”
②0～9的和为：(9+0)×10÷2=45 45÷3=15 即每个三角形里的数的和为15。下列三组数的和为
3. 解： 1～8的和是：(8+1)×8÷2=36而四条边的和则为12×4=48四角上的四个数之和应为：48-36=12 12=1+2+3+6
四角上要满足填
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