第 4 讲数的整除性（一）
我们在三年级已经学习了能被 2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们。
将讨论整除的性质，并讲解能被 4，8，9 整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那幺甲数一定能被丙。
数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除，那幺 48 一定能被 8 整除。
性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那幺这两个数的和与差也一定。
能被这个自然数整除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那幺 21＋15 及 21-15
都能被 3 整除。
性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那幺这个数一定能被。
这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与 7 互质，那幺 126 能被 9×7＝63 整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为。
了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征。
列出来：（1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那幺这个数。
就能被 2 整除。
（2）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那幺这个数就能被 5 整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那幺这个数就能。
被 3 整除。
（4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那幺这个数就能被。
4（或 25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那幺这个数就能。
被 8（或 125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那幺这个数就能。
被 9 整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习。
的内容。因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都。
能被 4（或 25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后。
两位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要这个数的后两位数能被 4（或。
25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质 1 和性质 2 知，8x99＋3x9）能被 9 整除。再根据整除的性质 2，由（8＋3＋7）能被 9 整。
除，就能判断 837 能被 9 整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数：
（4＇）一个数除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。
（5＇）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。
（6＇）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之和除以 9 的余数相。
同。例 1 在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整。除？
解：能被 4 整除的数有 7756，3728，8064；
能被 8 整除的数有 3728，8064；
能被 9 整除的数有 234，8865，8064。
例 2 在四位数 56□2 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别。
能被 9，8，4 整除？
解：如果 56□2 能被 9 整除，那幺。
应能被 9 整除，所以当十位数是 5，即四位数是 5652 时能被 9 整除；
如果 56□2 能被 8 整除，那幺 6□2 应能被 8 整除，所以当十位数是 3
或 7，即四位数是 5632 或 5672 时能被 8 整除；
如果 56□2 能被 4 整除，那幺□2 应能被 4 整除，所以当十位数是 1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652，5672，5692 时能被 4 整除。
到现在为止，我们已经学过能被 2，3，5，4，8，9 整除的数的特征。
根据整除的性质 3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一。
个数能否被 6 整除，因为 6＝2×3，2 与 3 互质，所以如果这个数既能被 2 整。
除又能被 3 整除，那幺根据整除的性质 3，可判定这个数能被 6 整除。同。
理，判断一个数能否被 12 整除，只需判断这个数能否同时被 3 和 4 整除；判。
断一个数能否被 72 整除，只需判断这个数能否同时被 8 和 9 整除；如此等。
等。例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能同时被 2，5，3 整除的。
数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被 2，5 整除，所以个位数字为 0。根据三位。
数能被 3 整除的特征，数字和 2＋7＋0 与 5＋7＋0 都能被 3 整除，因此所求。
的这些数为 270，570，720，750。
例 4 五位数能被 72 整除，问：a 与 b 各代表什幺数字？
分析与解：已知能被 72 整除。因为 72＝8×9，8 和 9 是互质数，所以既能。
被 8 整除，又能被 9 整除。根据能被 8 整除的数的特征，要求能被 8 整除，由此可确定 b＝6。再根据能被 9 整除的数的特征，的各位数字之和为。
a＋3＋2＋9＋b＝a＋3－f－2＋9＋6＝a＋20，因为 l≤a≤9，所以 21≤a＋20≤29。在这个范围内只有 27 能被 9 整除，所以 a＝7。
解答例 4 的关键是把 72 分解成 8×9，再分别根据能被 8 和 9 整除的数。
的特征去讨论 b 和 a 所代表的数字。在解题顺序上，应先确定 b 所代表的数。
字，因为 b 代表的数字不受 a 的取值大小的影响，一旦 b 代表的数字确定下。
来，a 所代表的数字就容易确定了。
例 5 六位数是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为 6＝2×3，且 2 与 3 互质，所以这个整数既能被 2 整除又能。
被 3 整除。由六位数能被 2 整除，推知 a 可取 0，2，4，6，8 这五个值。再。
由六位数能被 3 整除，推知。
3＋a＋b＋a＋b＋a＝3＋3a＋2b
能被 3 整除，故 2b 能被 3 整除。b 可取 0，3，6，9 这 4 个值。由于。
b 可以取 4 个值，a 可以取 5 个值，题目没有要求 a≠b，所以符合条件的六。
位数共有 5×4＝20（个）。
例 6 要使六位数能被 36 整除，而且所得的商最小，问 a，b，c 各代表什。
幺数字？分析与解：因为 36＝4×9，且 4 与 9 互质，所以这个六位数应既能被。
4 整除又能被 9 整除。六位数能被 4 整除，就要能被 4 整除，因此 c 可取。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是 a 尽量。
小，其次是 b 尽量小，最后是 c 尽量小。先试取 a=0。六位数的各位数字之。
和为 12＋b＋c。它应能被 9 整除，因此 b＋c＝6 或 b＋c＝15。因为 b，c
应尽量小，所以 b＋c＝6，而 c 只能取 1，3，5，7，9，所以要使尽可能。
小，应取 b＝1，c＝5。
当 a=0，b=1，c＝5 时，六位数能被 36 整除，而且所得商最小，为。
四年级 数的整除特征
年级 四年级对应试题 第八题对应知识点 数的整除。完成时间得分。1.难度 有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24 9 15，100 25 75.所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是 2.难度 一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字 十位数字和个位数字分别划去后可以得到三...
四年级奥数整除与余数
导言 我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性 另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数 被除数 除数 商 余数。这个关系也可以表示为 被除数 除数 商 余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征 整除 1.能被2整除的...
四年级数学思维训练基础第2讲数的整除 一
姓名。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除 否则，就是不能整除。例如，84能被2，3，4整除，因为84 2 42，84 3 28，84 4 21，42，28，21都是整数。而84不能被5整除，因为84 5 16 4，有余数4。也不能被13整除，因为84 13 6 6，有余...