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单元评价检测(三)
第十八章。45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分，共28分)
1.一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端距墙脚2.4米．那么梯足离墙脚的距离是( )
a)0.7米b)0.9米。
c)1.5米d)2.4米。
2.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为( )
a)3 cmb)6 cm
cd) 3.(2012·荆门中考)如图，△abc是等边三角形，p是∠abc的平分线bd上一点，pe⊥ab于点e，线段bp的垂直平分线交bc于点f，垂足为点q.若bf=2，则pe的长为( )
a)2 (bcd)3
4.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
a)2 m (b)2.5 m (c)2.25 m (d)3 m
5.直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是( )
a)132b)121
c)120d)以上答案都不对。
6.(2012·宁波中考)勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1是某边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠bac=90°，ab=3，ac=4，则d，e，f，g，h，i都在矩形klmj的边上，则矩形klmj的面积为( )
a)90 (b)100 (c)110 (d)121
7.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a，b，那么(a+b)2的值是( )
a)12 (b)16 (c)20 (d)25
二、填空题(每小题5分，共25分)
8.如图所示，数轴上点a所表示的数为a，则a的值是___
9.已知rt△abc中，∠c=90°，若a+b=14 cm，c=10 cm，则rt△abc的面积是cm2 .
10.如图，已知在△adc中，∠adc=90°，ad=dc，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则ac的长是。
11.(2011·绥化中考)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为cm2.
12.如图，已知等腰直角三角形abc的直角边长为1,以直角三角形abc的斜边ac为直角边，画第二个等腰直角三角形acd，再以直角三角形acd的斜边ad为直角边，画第三个等腰直角三角形ade,…,依此类推直到第五个等腰直角三角形afg,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为。
三、解答题(共47分)
13.(11分)(2012·重庆中考)如图，在rt△abc中，∠bac=90°，点d在bc边上，且△abd是等边三角形。若ab=2，求△abc的周长(结果保留根号).
14.(11分)如图，△acb和△ecd都是等腰直角三角形，∠acb＝∠ecd＝90°，d为ab边上一点，求证：(1)△ace≌△bcd；(2)ad2+db2=de2．
15.(12分)如图，在△abc中，cd⊥ab于点d，ac=4，cb=3，
1)求cd，ad的值。
2)判断△abc的形状，并说明理由。
16.(13分)(2012·广安中考)现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32 cm，底比一腰多2 cm.若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和。
答案解析。1.【解析】选a.如图所示，ab为梯子的长，ac为梯子的顶端距墙脚的距离，bc为梯足离墙脚的距离。在。
rt△acb中，ab=2.5米，ac=2.4米，由勾股定理得。
2.【解析】选d.过点c作cd⊥ae于点d,所以cd=3 cm,在直角三角形adc中，因为∠cad=30°，所以ac＝2cd＝2×3=6(cm),又三角板是有45°角的三角板，所以ab=ac=6 cm,所以bc2=ab2+ac2=62+62=72(cm2),所以故选d.
3.【解析】选c.因为bd是∠abc的平分线，所以∠abd=∠cbd=30°.
因为fq⊥bd,bf=2,所以根据勾股定理，得。
所以。在rt△bpe中，∠abd=30°,4.【解析】选a.
若假设竹竿长x m，则水深(x-0.5)m，由题意得，x2=1.52+(x-0.
5)2，解之，得x=2.5,所以河水的深度为2.5-0.
5=2(m)．
5.【解析】选a.设另外两边是a,b(a＞b),则根据勾股定理，得a2-b2=121,因为另外两边的长都是自然数，所以(a+b)(a-b)=121=121×1,即另外两边的和是121，故三角形的周长是132．
6.【解析】选c.如图，过b作bn⊥kl于n，则△bnf≌△cab.
所以bn=ac=4，nf=ab=3，同理fl=4.
所以kl=kn+nf+fl=10，kj=ke+ed+dj=11，所以矩形klmj的面积为10×11=110.
7.【解析】选d.每个直角三角形的面积为(13-1)÷4=3,即则ab=6.由勾股定理得a2+b2=13，所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25.
8.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，所以斜边长为所以-1到点a的距离是，那么点a所表示的数为。
答案： 9.【解析】因为a+b=14，所以(a+b)2=196.
根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．
所以2ab=196-(a2+b2)=96,所以。
答案：2410.【解析】如图所示，过点c作ce⊥l3于点e，过点a作af⊥l 3于点f，则ce=5,af=3.
因为在△adc中，∠adc=90°,所以∠adf+∠cde=90°,因为∠adf+∠daf=90°,所以∠cde=∠daf,因为∠afd=∠dec=90°,ad=cd,所以△adf≌△dce,所以de=af=3,因为cd2=ce2+de2,所以。
因为ac2=ad2+cd2,所以。
答案： 11.【解析】本题有两种情况(如图)：
1)当30 cm的边所对的角为锐角∠ac1b时，第三边。
2)当30 cm的边所对的角是钝角∠ac2b时，同法可求第三边为。
答案： 12.【解析】由勾股定理得。
所以由勾股定理得所以de=ad=2；
由勾股定理得。
所以。由勾股定理得所以fg＝af=4.
所以s△abc+s△acd+s△ade+s△aef+s△afg=
答案： 13.【解析】因为△abd是等边三角形，所以∠b=60°，因为∠bac=90°，所以∠c=180°-90°-60°=30°，所以bc=2ab=4.
在rt△abc中，由勾股定理得：
所以△abc的周长是。
答：△abc的周长是．
14.【证明】(1) 因为∠acb=∠ecd，所以∠acd+∠bcd=∠acd+∠ace．
即∠bcd=∠ace．
因为bc=ac,dc=ec，所以 △ace≌△bcd．
2)因为△acb是等腰直角三角形，所以∠b=∠bac=45°．
因为△ace≌△bcd，所以∠b=∠cae=45°．
所以∠dae=∠cae+∠bac=45°+45°=90°．
所以ad2+ae2=de2．
由(1)知ae＝db，所以ad2+db2=de2．
15.【解析】(1)因为cd⊥ab且cb=3,所以在rt△cdb中，
在rt△cad中，
2)△abc为直角三角形。
理由：因为。
所以ac2+bc2=42+32=25=52=ab2,所以根据勾股定理的逆定理可知△abc为直角三角形。
16.【解析】如图：
设ab=ac=x cm，则bc=(x+2)cm，由题意得(x+2)+2x=32，解得x=10.
因此ab=ac=10 cm，则bc=12 cm，过点a作ad⊥bc于d，所以bd=cd=6 cm，所以ad=8 cm.
可以拼成四种四边形，如图所示。
如图(1)，两对角线之和为10+10=20(cm)，如图(2)，
所以两对角线和为。
如图(3)，
所以两对角线和为。
如图(4),因为。
所以c4o4=4.8 cm，c4d4=9.6 cm，所以两对角线之和为19.6 cm.
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