一、全等中常见的基本图形的由来：
二、对一道习题的思考：
原题：八上课本p：如图1，ab=ac，ad=ae.求证：∠b=∠c.
应用的原理：1.全等三角形的对应角相等；2.三角形的全等判定方法“两边一夹角”.
思考一：⑴如图2，连接oa，其他条件不变，问：图中有几对全等的三角形？(答案：4对)
八上课本p：如图3，cd⊥ab，be⊥ac，垂足分别为d，e，be，cd相交于点o，ob=oc.求证：∠1=∠2.
思考二：⑴如图4，ab=ac，ad=ae，∠1=∠2.我们还能证明△abe≌△acd吗？
分析：可将图4看作图1中的△abe绕a点顺时针旋转。
八上课本p：如图5，ca=cd，∠1=∠2，bc=ec.求证：ab=de.
将图4中的△abe绕a点继续顺时针旋转，其他条件不变，如图6，我们还能证明△abe≌△acd.
应用的原理：1.利用等式性质1推导角相等；2.三角形的全等判定方法“两边一夹角”.
思考三：由思考二的解法，我想到：
如图1，△abc，△cde都是等边三角形，若b、c、e三点在同一直线上，连接ae与bd，则ae与bd相等吗？说明理由。
将△cde绕点c旋转，当旋转至图2位置时，ae与bd是否还会相等？说明理由。
将△cde绕点c继续旋转至图3位置时，ae与bd是否还会相等？说明理由。
问题本质仍是：1.利用等式性质1推导角相等；2.三角形的全等判定方法“两边一夹角”.
还想到：如图7，△abc，△cde都是等边三角形，若b、c、e三点在同一直线上，连接ae与bd，交点为p点，求∠apb的度数。
将△cde绕点c旋转，当旋转至图8位置时，求∠apb的度数。
将△cde绕点c继续旋转至图9位置时，直线ae与直线bd相交于p点，求∠apb的度数。
曾经这样考过：(08年广东东莞/中山/汕头市。21)
如图1，点o是线段ad的中点，分别以ao和do为边**段ad的同侧作等边三角形oab和等边三角形ocd，连结ac和bd，相交于点e，连结bc．求∠aeb的大小；
如图2，δoab固定不动，保持δocd的形状和大小不变，将δocd绕着点o旋转。
δoab和δocd不能重叠)，求∠aeb的大小。
思考四：如图4、图5、图6，△abc，△cde由“等边三角形”改为“等腰三角形”，添加“∠acb=∠dce”条件，我们仍有上面三个小题的变化。那么ae与bd是否相等？
还可以这样：如图13、图14、图15，△abc，△cde为等腰直角三角形，我们还有上面三个小题的变化。 那么ae与bd是否相等？
追问：此**形也能象上**形那样求直线ae与直线bd相交于p点时夹角∠apb的度数吗？
三、全等的**性问题：
1.(2012青海省2分)如图，点d，e分别**段ab，ac上，be，cd相交于点o，ae=ad，要使△abe≌△acd，需添加一个条件是只需一个即可，图中不能再添加其他点或线)．
2.(福清市2011－2012学年度第一学期八年级期中考)
如图，点b、点c在x轴上，且关于y轴对称，点c的坐标为(2，0)，ac=5，点d为ab的中点．
请写出点b的坐标为ab
如果点p**段bc上以1.5个单位/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q**段ca上由c点向a点运动．
若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，△bpd与△cqp是否全等，请说明理由；
若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，是否存在△bpd≌△cqp？若存在，求出点q的运动速度；若不存在，请说明理由。
在运动过程中，△bpd为等腰三角形的点p的位置一共有几种情况？(只要求写出几种，不必求出具体的点的坐标)
3.(2024年包头)如图，已知△abc中，ab=ac=10厘米，bc=8厘米，点d为ab的中点．
如果点p**段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q**段ca上由c点向a点运动．
若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，△bpd与△cqp是否全等，请说明理由；
若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使△bpd与△cqp全等？
若点q以②中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都逆时针沿△abc三边运动，求经过多长时间点p与点q第一次在△abc的哪条边上相遇？
四、对一道习题的拓展：
原题：八上课本p：
如图1，ac=bc，ad⊥ce，be⊥ce，垂足分别为d、e，ad=2.5cm，de=1.7cm，求be的长。
问题1：△bce≌△acd吗？请给出证明。
问题2：ad，de，be这三条线段有怎样的数量关系？
延伸一：将直线ce绕点c旋转，当旋转至图2位置时，作ad⊥ce，be⊥ce，垂足分别为d、e，ad，de，be这三条线段的数量关系是否还会存在？说明理由。
变式1：如图3，ad∥bc，∠bad和∠abc的平分线相交于点e，过点e的直线分别交dc，ab于c，b两点。求证：ab=ad+bc.
变式2：如图4，∠b=∠c=90°，e是bc的中点，de分别平分∠adc，求证：ae是。
dab的平分线。(提示：过点e作ef⊥ad，垂足为f.) 八上课本p)
曾经这样考过：
福清市2009－2010学年度第一学期八年级期中考试。24)
如图1，oa=1，ob=2，以a点为顶点、ab为腰在第三象限作等腰rtδabc，过c作cd⊥x轴于d，试证：△adc≌△boa，并求c点的坐标。
如图2，oa=1，点b为y轴负半轴上一个动点，以b为顶点、ba为腰作。
等腰rtδabc，若点c在第四象限，过c作cd⊥x轴于d，求ob-cd的值。
如图3，oa=1，b为直线x=m(m＞0)上一点，直线x=m(m＞0)与x轴交于点e，以b为顶点、ba为腰作等腰rtδabc，过c作cd⊥x轴于d，试用含m的代数式表示：若点c在第四象限，则be-cd如图3)；若点c在第一象限，则be+cd如图4).
延伸二：如图1，在正方形abcd中，点e是边bc上的一点，以e为顶点、ae为腰作等腰rtδaef，过f作fg⊥bc交bc的延长线于g.求证：△abe≌△egf.
变式1：如图2，在正方形abcd中，点g，e分别是边ab，bc的中点，，以e为顶点、ae为腰作等腰rtδaef，连接ge、cf．求证：△age≌△ecf.
变式2：如图3，在正方形abcd中，点g，e分别是边ab，bc的中点，∠aef=90o，且ef交正方形外角的平分线cf于点f．求证：△age≌△ecf.
曾经这样考过：
1.(2024年无锡市)
如图1，在正方形abcd中，m是bc边(不含端点b、c)上任意一点，p是bc延长线上一点，n是∠dcp的平分线上一点．若∠amn=90°，求证：am=mn．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边ab上截取ae=mc，连me．正方形abcd中，∠b=∠bcd=90°，ab=bc．
∠nmc=180°-∠amn-∠amb=180°-∠b-∠amb=∠mab=∠mae．
下面请你完成余下的证明过程)
若将⑴中的“正方形abcd”改为“正三角形abc”(如图2)，n是∠acp的平分线上一点，则当∠amn=60°时，结论am=mn是否还成立？请说明理由．
若将⑴中的“正方形abcd”改为“正n边形abcd…x”，请你作出猜想：
当∠amn=__时，结论am=mn仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)
2.(福清市2012－2013学年度第一学期八年级期中考试。23)
如图，o为坐标原点，正方形abcd，b在x轴上，坐标为(4，0)，d在y轴上，坐标为(0，4)，m在ab延长线上一点。直角三角形尺的一条直角边经过点d，且直角顶点e在ab边上滑动(点e不与点a，b重合)，另一条直角边与∠cbm的平分线bf相交于点f.
如图①，当点e在ab边的中点位置时：
请写出c点的坐标e点的坐标。
连接点e与ad边的中点n，通过测量de，ef的长度，猜想de与ef满足的数量关系是并证明你的猜想。
如图②，当点e在ab边上的任意位置时，问△def是特殊的三角形吗？试判断并说明理由。
五、等腰三角形底边上动点问题（与垂直有关）
原题：八上p和p以及p89活动3
如图1，△abc是等腰三角形，ab=ac，点d是底边bc的中点，de⊥ab，df⊥ac， 垂足分别为e、f两点。求证：de=df.
多解思考：解法一：如图1，用三角形全等证明：即证明△dbe≌△dcf；
解法二：如图2，连结ad，用角平分线性质证明；
解法三：如图2，用面积法证明，即s△abd=s△acd.
多变。变式1：如图3，当点d是底边bc上的任意点时，求证：de+df=ch.
证法一：如图4，连结ad，用面积法证明，由s△abc=s△abd+s△acd，可证明de+df=ch；
证法二：用截长方法，如图5，过点d作dm⊥ch，垂足为m，可证de=mh，再证明△cdm≌△dcf，得到cm=df.
证法三：用补短方法，如图6，过点c作ci⊥de，交ed延长线于点i，可证ch=ei，再证明△dci≌△dcf，得到di=df.
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