一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）
1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为。
a. b. c.
2.如图，将长为 4cm,宽为2cm的矩形纸片abcd折叠，使点b落在cd边上的中点e处，压平后得到折痕mn，则线段am的长度为（ ）
a. cm b. cm c. cm d. cm
3．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）
a.1 b. c. d.
4.如图，一个大长方形被两条线段ab、cd分成四个小长方形，如果其中图形ⅰ、ⅱ的面积分别为，那么图中阴影部分的面积为（ ）
a. b. c. d.
5．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标。
x，y）的个数为（ ）
a.10b.9 c.7d.5
二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
6.已知关于x的方程（a－1）x2+2x－a－1=0的根都是正整数，则符合条件的整数a有个。
7．从小明家到学校是一段长度为a的上坡路，接着一段长度为b的下坡路 （两段路长度不等但坡度相同），已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%，又小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟，则a与b的比值为。
8.正方形abcd的边长为5，e为边bc上一点，使得be=3，p是对角线bd上的一点，使得pe+pc的值最小。则pb
9．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否》487？”为一次操作。 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是。
10. 已知在平面直角坐标系xoy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点a、b，p是线段ab上一点，pm⊥x轴于点m，pn⊥y轴于点n.则当矩形ompn面积的最大值时，k的值为。
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11．某公司用1400元向厂家订了22张办公椅，办公椅有甲、乙、丙三种，它们的单价分别是80元，50元，30元，问有哪些不同的订购方案．
12．已知求的值．
13. 如图，正方形abcd的边长为1，点f**段cd上运动，ae平分∠baf交bc边于点e.
1）求证： af=df+be.
2）设df=（0≤≤1），△adf与△abe的面积和s是否存在最大值？若存在，求出此时的值及s. 若不存在，请说明理由。
14．有三种操作，对于整数对(m，n)，第一种操作将之变为(m－n，n)，第二种操作将之变为(m+n，n)，第三种操作将之变为(n，m)。现在对(19，81)进行操作，问能否通过上述三种操作，使之得到：
八年级数学竞赛试题参***及评分标准
2. c解：如图，连接． 由题意得四边形和四边形关于直线对称． ∴垂直平分．∴∵点e是cd的中点，de=1
在和在中，设，则，. 解得，即。
3．d解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为。
中位数为 ，于是 .
解：设四个小长方形的长、宽分别为a、b、c、d
则ac＝8，cb＝6，bd＝5。得ad＝，∴s阴＝ad＝
5．b解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2. 因为均为整数，所以有
解得。以上共计9对。
二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
解：易知a=1时，方程有整数解x=1，a≠1时，x1=1,x2= =1+,这时a取，综上所述：a有共三个整数。
解：设小明在平路上的骑车速度为x，则。
＝12由①、②得a∶b＝3∶8。
因为pe+pc=pe+pa，所以，当a、p、e三点共线时，pe+pa最小。
如图，建立直角坐标系，设b为坐标原点，ba为x轴。则lbd:y=x，lae:3x+5y=15.所以，p(15/8，15/8).故pb=15/8.
9．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为。
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是。
7＜x≤19．
设点p的坐标为(x0，y0)，矩形ompn的面积为s.则x0>0，y0>0，s=x0y0.
因为点p(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.
故s=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.
因此，s最大=，即16k2-(24-8s最大) k+9=0.
因为k为实数，则有δ=[24-8s最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8s最大|≥24.
解得s最大≥6或s最大≤0(舍去).
当s最大=6时，k= -3/4.
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11．解：设80元x张，50元y张，则30元（22－x－y）张。
由题意得5分)
解得5分)因为都为整数，所以
方案列表如下：（有三种方案可选择）
5分)12．解： ①
同理得6分)
将①②③式相加得： ④
－①得 －②得
－③得 9分)
13．（1）证明： 如图，延长cb至点g，使得bg=df，连结ag. 因为abcd是正方形，所以在rt△adf和rt△abg中，ad=ab，∠adf=∠abg=90°，df=bg.
rt△adf≌rtabg（sas），∴af=ag，∠daf=∠bag. 又 ∵ ae是∠baf的平分线。
∠eaf=∠bae, ∴daf+∠eaf=∠bag+∠bae
即∠ead=∠gae.
ad∥bc，∴∠gea=∠ead，∴∠gea=∠gae，∴ ag=ge. 即ag=bg+be.∴ af=df+be，得证5分)
ad=ab=1, ∴由（1）知，af=df+be, 所以。
在rt△adf中，ad=1，df=x, ∴
由上式可知，当x 2达到最大值时，s最大。而0≤x≤1，所以，当x=1时，s最大值为10分)
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