三年级上册解决问题的策略教学了“从条件向问题”的推理,本单元教学的解决问题策略是“从问题向条件”的推理。
条件到问题的推理从已知条件入手,有条理地研究条件之间的联系,并利用已知条件及其相互关系,陆续得出新的数量,逐渐向所求问题逼近。某种程度上说,条件之间的联系具有较大的开放性,因为根据两个相关联的已知条件,能够算出一个或几个数量。如,已知男同学20人,女同学5人,可以得到男、女同学一共25人,男同学比女同学多15人,男同学人数是女同学的4倍……得到的这些数量中,某一个可能是解决稍复杂问题所需要的数量。
所以说,研究并挖掘条件之间的联系,是为解决问题寻找新的资源。
问题到条件的推理从所求问题入手,研究解决这个问题需要知道哪些条件,这些条件是否已经具备。如果某个需要的条件暂时还不具备,就想方设法先求出它。像这样沟通问题与条件之间的联系,逐渐向实际问题里的已知条件靠拢,也是积聚解决问题所需要的资源。
从问题向条件的推理往往具有针对性,如,求男、女同学一共多少人,一般用男同学人数加女同学人数,需要知道男、女同学各有多少人。又如,求上衣比裤子贵多少元,一般用上衣价钱减裤子价钱,需要知道上衣的价钱和裤子的价钱。所以说,从问题向条件的推理,能够较快地理出解决问题的线索与步骤,是解决问题经常使用的一种策略。
从条件向问题推理与从问题向条件推理,都是数量关系的推理。虽然它们的推理起点不同、方向相反,却在解决问题时相辅相成、结合着运用,都是常用的思考策略。尤其在解答三步或更多步计算的实际问题时,如果既考虑已知条件之间的关联性,又考虑所求问题与需要条件之间的必要性,能有效地“化简”复杂的问题。
如解答这样的实际问题:每袋大米重75千克,每袋面粉重25千克,一辆载重量5吨的卡车装了40袋大米以后,还能装多少袋面粉?如果从条件想起,根据“每袋大米75千克”和“装了40袋”,能够算出“装了3000千克大米”;如果从问题想起,根据所求问题的数量关系“还能装面粉的袋数=还能装面粉的千克数÷每袋面粉的千克数”,得出需要先算“还能装多少千克面粉”。
这样,解答原来的实际问题就聚焦为“一辆载重5吨的卡车,已经装了3000千克大米,还能装多少千克面粉?”这是一道一步计算的问题,很容易解决。本单元编排两道例题和一个练习,具体安排如下表:
从**里可以看到,教材编排遵循“策略”的教学规律,让学生在解决实际问题的活动中学习策略;先体验策略,再运用策略,逐步达到掌握策略的目的。教材主要编排求一共多少、还剩多少、相差多少的两步计算问题,是因为这些问题的数量关系适宜从问题出发进行推理,学生很熟悉这些数量关系,有助于他们初步学会从问题向条件推理的思考方法,进而形成思路、掌握策略。
一)首次教学从问题向条件的推理,加强对学生引领的力度,凸显思路的特点和方法。
例l第一次教学从问题出发的思考,用图画分别给出两套不同的运动服价钱130元和148元,两顶不同帽子的价钱16元和24元,两双不同运动鞋的价钱85元和108元。创设的问题情境是“带300元钱,买一套运动服和一双运动鞋,最多能剩下多少元?”实际问题给出的已知数据很多,如果仍然从条件出发向所求问题推理,能够提出许许多多问题,而大多数问题都不是解决实际问题所需要的中间问题。
所以说,使用条件向问题的推理来解决这个实际问题,效率很低,应该更新思路,换一个角度,换一条线索来分析数量关系。
从问题向条件推理,所求问题是推理的切入口,已知条件是推理的归宿。首先要找到所求问题,并正确理解问题的含义;接着要分析所求问题的数量关系,依据数量关系式确认需要的条件,确定应该先算出的中间问题;然后才能列式计算,检验得数,给出答案。例1按照人们解决问题的一般过程,把例题的教学设计成四个板块:
找到并理解问题、分析问题的数量关系、列算式解答、回顾反思解题过程。
1.正确理解“最多剩下多少元”的含义。
学生已经知道买东西的时候如果付出的钱多于物品的价钱,应该找回一些钱(即剩下一些钱),其数量关系是“剩下的钱=付出的钱-物品的价钱”。例题要求“最多剩下多少钱”,这里为什么用“最多”这个词?怎样使剩下的钱最多?
都是理解题意必须清楚的。
教材问学生“你是怎样理解最多剩下多少元的?”引导他们联系生活经验思考:买不同价钱的物品,需要的钱数不同。
如果买价钱便宜的物品,需要的钱少;买价钱贵的物品,需要的钱则多。如果付出同样的钱,买价钱便宜的物品,剩下的钱多;买价钱贵的物品,剩下的钱少。于是明白,解答“最多剩下多少元”这个问题,要购买价钱比较便宜的运动服和运动鞋。
应该看到,学生的生活经验里具有上述的认识,课堂上只要组织他们围绕“最多剩下多少元”的含义展开讨论,就能提取已有经验,正确理解问题。
在理解“最多剩下多少元”的含义,确认购买比较便宜的运动服和运动鞋以后,例题就变成“小明和爸爸带300元钱,买一套价钱130元的运动服和一双价钱85元的运动鞋,还剩下多少元?”这是一道有三个已知条件的两步计算问题,大多数学生都能够解答。形成的这道两步计算问题,排除了原来情境里的无关信息,只保留需要的三个已知条件。
可见,从问题出发的推理,具有明显的针对性,解题效率就体现在这里。
2.凸显“从问题出发”的推理特点与方法,联系已有知识经验,设计解决问题的。
从问题向条件推理的基本线索是所求问题的数量关系,在数量关系式上确认需要的条件,设计解决问题的步骤。教材鼓励学生“根据问题说出数量之间的关系”,联系购物的经验,得出数量关系式“剩下的钱=付出的钱-用去的钱”。在这个数量关系式上,付出300元已经知道,用去的钱还不知道,于是形成先算“买一套运动服和一双运动鞋需要多少元”,再算“付300元应该剩下多少元”的解题思路与步骤。
求剩下多少元通常有两种算法,一种算法是上面已经形成的,所带的钱减运动服与运动鞋价钱的总数,得到剩下的钱。另一种是所带的钱先减运动服的钱,再减运动鞋的钱,得到剩下的钱。大多数学生会选择前一种解法,教材也希望学生采用前一种解法,因为这种解法完全符合新授的策略。
如果有人提出后一种解法,当然是可以的。但不必提倡,更不必要求一题两解。
3.变化题目,再次经历“理解问题—得出数量关系式—确定解题步骤”的过程。
在解答“带300元钱买一套运动服和一双运动鞋,最多剩下多少元”以后,教材接着安排“想一想”:买3顶帽子,付出100元,最少找回多少元?这个问题是例题的变式。
变化之一,由“最多剩下多少元”变成“最少找回多少元”,剩下的钱最多,用去的钱应该最少,购买的物品应该最便宜;找回的钱最少,用去的钱应该最多,购买的物品应该最贵。因此,在价钱分别是16元和24元的两种帽子中,应该选择价钱24元的那一种。变化之二,由“买两种物品,每种一件”变成“买3顶同一种帽子”,求一共多少元的问题由“两个不同数量的和”变成“3个相同数量的和”,算法也由加法变成乘法。
教学“想一想”,应该引导学生体会并正确理解“最少找回多少元”的含义,从而选择相应的帽子,形成所求问题的数量关系式。让学生再次经历“理解问题”“从问题想起”以及“依据数量关系式设计解题步骤”等推理过程。
4.回顾解决问题的过程,反复体验“从问题想起”的推理思路,初步感悟解决问题的策略。
回顾与反思是积淀解决问题经验、形成解决问题策略不可缺少的环节。教学例1,其目的如果是得出结果,那么列式计算、检验得数就可以结束解题活动了。如果是通过例题培养解决问题的策略,那么应该引导学生认真回顾解题过程,反思思考的方法与要领,体验从问题向条件推理的切入口、基本线索和主要方法,学会从问题到条件的推理。
例l在解决“最多剩下多少元”和“最少找回多少元”两个问题以后,安排学生回顾解决问题的过程,相互交流解决问题的体会。教学应该紧紧抓住从问题向条件推理的思路特点与思考方法,引导学生认真反思。说说解答例1和“想一想”这两个问题都是怎样想的,仔细体会“找到所求问题”是推理的起点,“列出与问题有关的数量关系式”是推理的基本线索,“寻找合适的条件和确定先算的中间问题”是推理的主要节点。
组织回顾反思,还可以让学生说说“从问题向条件”的推理与“从条件向问题”的推理有什么不同,明白前者是根据条件提出问题,后者是根据问题列出数量关系式。体验解答例1和“想一想”如果从条件想起将会怎样,感受从问题想起的推理比从条件想起的推理更有针对性。
配合例1的“想想做做”编排了4道题,帮助学生初步学会“从问题出发的推理”。教材的编写很有层次。第1题明确要求“根据问题说出数量关系式,并说说缺少什么条件”,规定了解题的思路。
第2题由“白菜”**提出“要求足球组的人数,可以先算什么?”也明确了分析数量关系的要求。对初步应用从问题向条件推理的学生来说,提出这些要求,给予思路指点是十分必要的。
第3题只是“豆荚”**提问“这两题都要先算什么?”,第4题则没有思路的提示了。教材希望学生在解答前两道题的基础上,自主应用新学习的思考方法解答后面两题,获得对新策略的亲身感受。
二)解答只有两个已知条件的两步计算实际问题,进一步体会从问题想起的好处。
例2已知一条裤子卖48元,一件上衣的价钱是裤子的3倍,求买一套衣服需要多少元。这是一道只有两个已知条件的两步计算问题,其中的一个已知条件(裤子的价钱)在解答时要使用两次。学生如果采用从条件向问题推理的线索思考,往往会把这道问题误解成一步计算的问题。
如果采用从问题向条件推理的思考线索,思路会比较清楚,两步计算的步骤会比较明确。教材仍然按照“理解题意,找到问题——列出问题的数量关系式,设计解答步骤——列式计算,解答变式问题——回顾反思所解答的题,积累解题经验”的顺序组织学习活动,在编写上有以下一些特点。
l.利用线段图直观表示题意和数量关系。
教材画出一条线段表示裤子的价钱48元,要求学生画上表示上衣价钱的线段,并**段图上表示出所求问题。通过画图以及表示所求问题,学生能直观体验上衣价钱与裤子价钱的关系,明白上衣的价钱虽然不直接知道,但根据“上衣价钱是裤子的3倍”可以求得。**段图上还能进一步看出所求问题“买一套衣服的钱”包括买一件上衣的钱和买一条裤子的钱,是上衣价钱与裤子价钱的总和。
学生经过这些画图与思考,完全进入了问题情境,形成了有利于解题的氛围。
2.侧重于常规解法。
学生明白一套衣服是一件上衣和一条裤子以后,会把所求问题的数量关系列成“上衣价钱+裤子价钱=一套衣服价钱”,很自然地在数量关系式上确定先算一件上衣的价钱,再算一套衣服的价钱。
例2还有一种解法:从上衣价钱是裤子的3倍,可以得出“一套衣服的价钱是裤子的4倍”(线段图上,裤子价钱看成1份,上衣价钱是这样的3份,一套衣服的价钱是这样的4份),列出算式“48×4”就能算出买一套衣服需要的钱。
分析例2的数量关系,如果从条件想起,也许部分学生会想到后一种解法。现在从问题想起,绝大多数学生不会想到这种解法。教学应该注意,例2着重培养从问题到条件的推理策略,要突出前一种解法,如果没有学生提出后一种解法,则不必提及它。
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