小学数学专题研究摘要

第一章课程目标。

1数学是研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。现实中的事物虽然千变万化，但从数学角度来说，对事物的研究不外乎数和形两个方面。数学是一种研究思想事物的抽象的科学。

（恩格斯《自然辨证法》。）

2数学的作用法拉第《马克思回忆录》指出：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。联合国教科文组织关于科学研究主要趋势的调查中指出：

目前科学研究工作的特点之一就是所有各门学科的（数学化）。数学是一切科学技术的基础，数学的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然和社会科学中，数学作为一种文化，已**们的共识。

3我国数学课程及演变过程数学产生的漫长的历史阶段①萌芽时期（公元前600年前）②初等数学时期（公元前600年——17世纪中叶）③变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代）④近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战）⑤现代数学时期（第二次世界大战以来）但作为一门学科课程，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学馆。置博士、助教，选定和注释从汉朝以来的十部算经，又以《算经十书》著。《算经十书》是我国古代数学发展和成就的代表文献，构成了我国古代传统数学体系。

①《周髀算经》勾股定理；②《九章算术》方程章中第13题是著名“五家共井”最早的不定方程问题；③《孙子算经》“知客几何”“鸡兔同笼”尤其是“物不知数”是后来驰名于世的“大衍求一术”的起源，是中国古代数学最具独创精神的成就之一。④《张丘建算经》提出了有趣的不定方程和解法“百鸡问题”；⑤缉古算经》三次方程的代数解法；《数学记遗》“九宫图”。海岛算经》⑦《五曹算经》⑧《五经算术》⑨《缀术》⑩《夏侯阳算经》。

算学作为小学则从近代光绪二十八年（2023年）才正式开始。2023年美国学者狄考文编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。2023年春编《最新教科书》，其中包括《最新初小算学教科书》我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。

2023年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。2023年三个面向“面向现代化、面向世界、面向未来”。《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》采用“一纲多本”的新策略。

4国外数学课程变革的简况及趋势 20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运动。20世纪30年代法国形成了著名的“布尔巴基学派”。瑞士心理学家皮亚杰的发展心理学派寻求数学结构和思维结构的相似点。

5小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、进行质量评估、决定考试命题等进行的依据。

6数学学科的特点 ①高度的抽象性。②严密的逻辑性。由于数学的高度抽象性，数学家证明定理只能用推理呵和计算，而且在推理论证的过程中，必须严格遵守逻辑规则才能保证由已知推出的结论具有正确性。

悖论：英国数学家罗素提出一个悖论，指出作为数学基础的集合论本身就存在着矛盾。“理发师”悖论。

③应用的广泛性。

8小学生认知发展水平①根据小学生的思维特点和数学学科性质，培养小学生初步的逻辑思维能力。②根据小学生认知几何的心理特点，培养几何观念。根据世界观不成熟，自然地进行辨证唯物主义的启蒙教育。

③根据个性品质、兴趣爱好和行为习惯等方面具有较大的可塑性，着重培养学生学习数学的兴趣，帮助他们养成良好的学习习惯。

9历年我国小学数学课程目标归纳纵观将近一个世纪我国小学数学课程目标的演变，可以发现：课程名称由小学堂算术到小学算术，再到小学数学，逐步拓展；指导思想由自谋生计之必需的功利主义到适应进一步学习和直接参加生产劳动的需要，再发展为提高民族素质，逐步更新。课程目标发展的轨迹：

①知识、技能→②知识、技能、思维→③知识、技能、能力→④知识、技能、能力、思想、非智力因素。

第二章解题的理论依据。

1数学问题～有一个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出的。知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为两类：

常规问题和非常规问题。依照数学问题提法的意义是否明确，数学问题的条件是否充分，我们还可以把数学问题划分为：可能问题和不可能问题。

(两个显著特征：一是是某些可能问题的自然延伸，能够在较长时期内给人以成功的希望；其二是以可能问题的面目出现，其不可能性的本质隐藏较深，以致经过长时间的反复尝试，才能将本质揭示和确认出来。

2 抽象分为三种类型：孤立抽象（从其他因素中划分出确定因素）、重点抽象（不仅划分出一种因素，而且也指出作为背景的其他因素）和区分抽象（有意识的划分本质因素和非本质因素以及它们的根本区别。

3概括分两种基本形式：一般性概括（根据具有最强烈刺激的性质或特性而进行的第一信号刺激的概括。概念性概括（又称特殊性概括，根据存在条件和表现形式而进行的概括。）

4思维的本质思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。

5思维的类型 ①逻辑性思维(按照逻辑的规律、方法和形式有步骤有根据的从已知条件和已有的知识推导出新结论的思维。分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维) ②非逻辑性思维。形式逻辑思维：

是以概念、判断、推理等思维方式，同一律、矛盾律、排中律等思维规律，归纳、演绎、类比、科学假设等思维方法为其研究对象。

6辩证逻辑思维研究是思维形式如何正确反映客观事物的运动变化、事物的内部矛盾、事物的有机联系和转化等问题，其主要特点是用有限量来描述和刻画无限过程以及有限和无限的矛盾转化。

7数学思维又叫数学型思维，就是以数和形为思维的对象。以数学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的的一种思维。数学思维品质：

灵活性、积极性、目的性、记忆性、广阔性、深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。

8数学思维水平的评定：第一级水平——第五级水平。前两级水平是小学年级的学生所特有的，第**水平是初中年级学生所特有的；第四级水平是高中年级学生所特有的，至于第五级水平无论是几何方面的还是代数方面的，均属于数学思维的现代水平。

一般的中学阶段的学生是难以达到的。

9问题解决的特征：①问题情境因素②解题者的个体特征(解题者知识经验基础和个性品质) ③解题中的认知策略（解题者用来调节注意、回忆和思维的技能）

第三章解题的认知过程。

1学习从广义上理解，学习是有机体凭借经验的获得而产生的比较持久的行为（思维、想象、记忆、感知等内部心理活动和言语、表情、动作等外部活动）变化。从狭义上理解，学习是指学生在老师指导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行获得知识、形成技能、培养能力、发展个性过程。桑代克—刺激反应理论，学习是刺激和反应的联结。

苛勒—完形理论，学习是零碎和知觉信息的再组织过程。托尔曼—认知理论，学习是对环境中的刺激，依其关系形成一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等等。

2学习的分类：根据学习产生的情景，由低到高把学习分为8类（美加涅），信号学习，刺激反映学习，连锁学习，语言的联合，多重辨别学习，原理学习，解决问题。根据学习进行的方式：

接受学习和发现学习；根据学习材料和学习者原有知识的关系，可以把学习分为机械学习和有意义学习。（美奥苏伯尔）

苏联彼得罗夫斯基根据人与动物学习的质的差异分为：反射学习和认知学习。学习内容与水平的不同又把认知学习分为感性学习和理性学习，再把理性学习分为概念学习、思维学习与技能学习。

2小学数学解题与数学认知结构作为小学数学学习的主要内容和方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。小学数学解题并不是数学知识的简单应用，而是以原有数学认知结构为依据，对新知识进行加工。小学数学解题实际上也是数学认知结构不断同化和顺应的过程。

3技能是顺利完成某种任务的一种心智或动作的活动方式，它需要通过练习才能形成。动作泛指在完成一项具体任务中所涉及的一系列操作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。

4心智系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。

5技能和能力的区别是不同的概念，二者既有联系，又有区别。技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起重要的促进作用。

5数学动作技能：指运用工具绘图的技能，测量技能、使用计算工具的技能等。

6数学心智技能：指数的计算技能、式的恒等变形技能、解方程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。这两种数学技能既有联系又有区别：

一方面数学心智技能的形成，与数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控制。

12数学认知技能的形成阶段：就小学数学解题而言，可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动化阶段。小学数学解题中的数学认知技能尽管有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个从“会”到“熟”的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，才能完成这一转变。

13发展发展作为一般意义上的理解是指人的各种特性在结构上和机能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。其中心里发展是心理学研究的对象指个体心理的变化过程。

心理发展最为重要的部分是认知发展。

14认知发展认知发展是指与大脑生长和知识技能有关的发展方面。涉及人在知觉、记忆、思维、语言、智力等方面种种功能的发展变化。

15小学数学认知发展可以理解为小学数学认知结构和数学认知技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含这样几个阶段：①输入阶段；②同化和顺应阶段；③应用阶段。

以上三个阶段是密切联系的。

第四章解题的实质。

1小学数学解题的含义：即小学数学领域中的问题解决，不但要关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。

其含义就是思考的活动及探索的过程。19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一在此之前人们一直混淆的上述问题。小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就得到问题所要求答案。

2小学数学解题结构奥苏伯尔解题结构模式：①呈现问题的情境②明确问题的目标与已知条件③填补空隙的过程④解答后的检验。

3小学数学解题的几个阶段①分析题意②寻找解法③实行解法④回顾解法。

4小学数学解题的趋向：教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。

尝试错误式：是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正暂时性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。

顿悟式：解决问题尝试错误式不同，它具有一定的“心向”，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。两者关系：

在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟式实际上不能绝对化的，尝试错误式解题可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题也不一定是彻底的、完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。

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