一、判断题。
a）对给定的连续函数，构造等距节点上的lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。
答：错高次插值多项式会出现龙格现象。
b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。
答：对。c) 高次的lagrange插值多项式很常用。
答：错高次lagrange插值会出现龙格现象。
d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。
答：对。二、证明对任意的 ，都有其中的
为插值基函数。
证：rn(x)=f(x)-pn(x)=
对f(x)进行lagrange插值，得=0。
所以rn(x)=0，f(x)=pn(x)
因为y0=y1=y2=…=yn=1
pn(x)=l0(x)+l1(x)+…ln(x)=
三、(a) 求在节点。
上的三次自然样条(即。
b)用同样的数据作lagrange插值。并将及它的三次自然样条插值和lagrange多项式插值用matlab画出来，比较它们的结果。
解：(a) h1=-2 h2=-0.5 h3=0.5 h4=2
得 m1=m5=0 m2=-4/9 m3=32/9 m4=-4/3b)clc
clearx=[-2,-0.5,0,0.5,2];
y=abs(x);
x0=-2:0.01:2;
y1=interp1(x,y,x0,'spline');
plot(x0,y1,'b')
hold on
m=length(x0);
for i=1:m
z=x0(i);
s=0;for k=1:5
l=1;for j=1:5
if j~=k
l=l*(z-x(j))/x(k)-x(j));
endend
s=s+l*y(k);
endy2(i)=s;
endplot(x0,y2,'r')
legend('spline','lagrange',0)
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