实验1 插值与数值积分。
实验内容】1.用梯形面积公式和辛普森公式计算由下表数据给出的积分。
已知该表数据由函数所产生，将计算值与精确值作比较。
解：程序如下：
原始数据。x=[0.3:0.2:1.5];
y=[0.3895 0.6598 0.9147 1.1611 1.3971 1.6212 1.8325];
精确值。z=1.5^2*1/2-cos(1.5)*1/3-0.3^2*1/2+cos(0.3)*1/3
自适应辛普森公式。
z1=quad('x+sin(x)/3.',0.3,1.5)
dz1=z1-z
辛普森公式。
k=length(y);
y1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(y1);
y2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(y2);
z2=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*0.2/3
dz2=z2-z
梯形公式。z3=trapz(x,y)
dz3=z3-z
运行结果如下：
z = 1.3749
z1 = 1.3749
dz1 = 2.0976e-009
z2 = 1.3743
dz2 = 5.9976e-004
z3 = 1.3730
dz3 = 0.0019
结果分析：用梯形公式计算的积分值，其精确程度要小于用辛普森公式算出的积分值，并且自适应辛普森公式的结果最精确。
2.下表给出的x，y数据位于机翼断面的轮廓线上，y1和y2分别对应轮廓的上下线，假设需要得到x坐标每改变0.1时的坐标，试完成加工所需的数据，画出曲线，求加工断面的面积。
解：程序：按表输入原始数据。
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y10=[0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6];
y20=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
分段线性差值。
y11=interp1(x0,y10,x);
y21=interp1(x0,y20,x);
在y1，y2方向计算三次样条插值。
y12=spline(x0,y10,x);
y22=spline(x0,y20,x);
y11' y12' x']
y21' y22' x']
画出图形。subplot(2,1,1),plot(x,y11,x,y21,':axis([0 15 0 4])
title('分段线性插值','fontsize',12)
gtext('y1')
gtext('y2')
subplot(2,1,2),plot(x,y12,x,y22,':axis([0 15 0 4])
title('三次样条插值','fontsize',12)
gtext('y1')
gtext('y2')
分段线性插值积分求面积。
area1=trapz(y11-y21)*0.1
三次样条差值积分求面积。
area2=trapz(y12-y22)*0.1
运行结果：area1 =10.7500
area2 =11.3444
由图形可见，三次样条插值出来的曲线要比分段线性插值更光滑，从而area2 =11.3444更为准确。
附表：ans =
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