基于matlab在层次分析法中的应用及研究。
摘要】运用matlab编程，使层次分析法的计算变得简单可行易修改，为决策者提供方便友好的界面，为解决问题提供了便捷的途径。本文通过某厂选择计算机的几种方案对比，对影响选择的因素进行排列，按层次分析法理论建立简便有效的实用模型，通过matlab程序计算，使选择方案优选一目了然，为决策者决策提供了宝贵的理论依据。
关键词】matlab，层次分析法
1 引言。美国运筹学专家等人提出来的层次分析法(简写为ahp法)是一种定量与定性相结合的方法，该方法将以人的主观判断为主的定性分析定量化，把人的思维过程层次化、定量化。matlab是目前国际上流行的科学计算软件，它具有强大的矩阵计算和数据可视化能力，可实现数值计算、图形处理、自动控制、信息处理等多种功能。
所以我们可以考虑采用层次分析法，结合matlab语言为实现手段，得到一种合理可行的方法。
2 层次分析法简介。
2.1 基本原理。
层次分析法(analytic hierarchy process, 简称ahp) 是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家t. l.
saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
2.2 递阶层次结构的建立与特点。
i) 最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
ii) 中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
iii) 最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
2.3 构造判断矩阵。
对于同一层次各因素相对于上一层次因素重要性的两两比较，saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9 标度最为合适。
因此，在比较目标重要性时，通常的做法是让决策人先把各个目标之间的重要性作成对比较。如果我们把第i个因素对第j个因素的相对重要性记为aij，并认为这就是属性i 的权重和属性j 的权重之比的近似值。于是判断矩阵如表1所示：
表1 判断矩阵。
2.4 层次单排序及一致性检验。
计算一致性比例，当cr<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
2.5 层次总排序及一致性检验。
总排序随机一致性比例为，当cr<0.10 时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
3 层次分析法的应用。
某厂准备购买一台计算机，希望功能强，**低，维护容易。现有a，b，c三种机型可供选择。其中a的性能较好，**一般，维护需要一般水平；b的性能最好，**较贵，维护也只需一般水平；c的性能差，但**便宜，容易维护。
用层次分析法分析的实现步骤如下：
第一步：将问题通过分析后归纳成以下网状层次结构图，如图1所示，决策层的各个子目标都与上一层（准则层）的各个因素有关联。
第二步：对于三个准则(s1，s2，s3)关于目标g的优先顺序，根据讨论，该厂在计算机应用上首先要求功能强，其次要求易维护，再次才是**低。故得其判断矩阵如下：
第三步：运用matlab程序判断a是否满足一致性，若满足则求出权重。
在matlab中编写coinciden_文件如下：
clc;clear;
disp('输入判断矩阵a(n阶)')
a=input('a=')
n，n]=size(a);
x，d]=eig(a);
z=max(d，1);
k=max(z，2);
z_max，ind]=max(z);%求矩阵z中最大值所在的列。
w=x(:，ind)/sum(x(:，ind));
disp('特征向量w=')disp(w)；
disp('特征值k=')disp(k);
以下是一致性检验。
ci=(k-n)/(n-1);ri=[0 0 0.52 0.89 1.
12 1.26 1.36 1.
41 1.46 1.49 1.
52 1.54 1.56 1.
58 1.59];
cr=ci/ri(n);
if cr<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受！')
disp('ci=')disp(ci);
disp('cr=')disp(cr);
end;运行此程序，在command windows中输入矩阵a，运行则输出结果，其显示为：
请输入判断矩阵a(n阶)
a=[1 5 3;1/5 1 1/3;1/3 3 1]
特征向量w=
特征值k=
此矩阵的一致性可以接受！ci=
cr=所以a符合一致性要求，则所求权重为：
w=(0.6370, 0.1047, 0.2583)t
第四步：计算决策层各个子目标关于准则层各因素的权重。首先确定三个方案对于各个准则的判断矩阵，根据分析得到判断矩阵分别为：
对准则s1(功能强)为：
对准则s2(**低)为：
对准则s3(易维护)为：
这三个矩阵也分别用matlab中的coinciden_程序来计算，其结果为：
对准则s1(功能强)为：特征向量w=(0.1818, 0.7273, 0.0909)t
特征值k=3.0000
此矩阵的一致性可以接受！
ci= -4.4409e-016
cr= -8.5402e-016
对准则s2(**低)为：特征向量w=(0.2560, 0.0732, 0.6708)t
特征值k=3.0183
此矩阵的一致性可以接受！
ci=0.0091
cr=0.0176
对准则s3(易维护)为：特征向量w=(0.1852, 0.1562, 0.6586)t
特征值k=3.0291
此矩阵的一致性可以接受！
ci=0.0145
cr=0.0279
即其权重分别为：w1=(0.1818, 0.
7273, 0.0909)t；,w2=(0.2560, 0.
0732, 0.6708)t；w3=(0.1852, 0.
1562, 0.6586)t
第五步：计算组合权重，即计算决策层各个子目标在总目标中所占的比重，记为wz=(w1, w2, w3)t
在matlab中计算此矩阵乘法，具体过程如下：
>w1=[0.1818;0.7273;0.
0909];w2=[0.2560;0.0732;0.
6708];w3=[0.1852;0.1562;0.
6586];wi=[w1，w2，w3]wi =
> w=[0.6370; 0.1047; 0.2583];
> wi*wans =
即wz=(0.1904, 0.5113, 0.2983)t，其中0.5113最大，所以用层次分析法计算的结果分析，b型计算机从综合评价来看是最满意的备选机型。
4 结束语。
运用matlab编程，使层次分析法的计算变得简单可行易修改，为决策者提供了方便友好的界面，为解决问题提供了便捷的途径，能有效的避免决策的随意性，使选择方案优选一目了然，为决策者决策提供了准确的理论依据。
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