2015-2016-2学期《matlab语言》大作业题目。
一、（本题40分）请利用matlab语言，实现如下的人鬼输运游戏程序：
游戏本质：把人和鬼都送到对岸，任何一边鬼都不能比人多，否则鬼吃人，游戏结束。
要求：（1）模仿上面的界面，利用matlab设计一个程序，完成游戏；
（2）程序能够记录下参赛选手的操作流程，即每次输运的对象（人或鬼）、是否成功、输运次数、完成时间，分别以文本文件和execl文件形式保存游戏过程（复盘）；
（3）图中的动画效果尽量逼真。
二、（本题40分）请你利用matlab语言编写一个程序，实现对称正定矩阵方程组的最速下降法。
1、知识基础。
考虑线性代数方程组。
的求解问题，其中是给定的阶对称正定矩阵，是给定的维向量，是待求的维向量。
我们定义二次泛函。
有如下性质：
1）对一切，有的一阶导数，即梯度。证明：
2）对一切，有。
3）设为（1.1）的解，则。
4）对一切，有。
定理1：设对称正定，则为（1.1）的解的充要条件是：是的极小值点。即。
证明：必要性，设，由的正定性及性质（4）得。
所以即使达到最小。
充分性，若是的极小值点，因为的hessian阵为（即存在唯一极小值点），所以是的最小值点，则有。
这表明，求解方程组（1.1）与求二次泛函的极小值点是等价的。早期，人们总是先把求的极小值点问题转化为求解方程组（1.
1）的问题，然后通过解（1.1）来求得的极小值点。而这里，我们将把这个过程反过来，即把求解方程组（1.
1）的问题转化为求泛函的极小值点问题，然后通过求的极小值点而求得方程组（1.1）的解。这就是求解方程组（1.
1）的变分方法。
2、通常的做法。
求二次泛函的一般方法是：构造一个向量序列，使。
通常采用如下的迭代方法进行求解。
1）任取一个初始向量，2）构造迭代格式。
称为搜索方向，为搜索步长。
3）逐步选择和，使得。
当时，有。4）给出误差线，直到。
或。终止迭代，取为满足精度的数值解。这里的。
5）对迭代格式。
关键的问题是如何确定搜索方向和搜索步长。
假定搜索方向已经确定，需要确定搜索步长，使得从第步到第步是最优的，即。
这称为沿方向的一维极小搜索，此时在方向上达到局部极小。
对确定的搜索方向，构造一个关于的函数，即。
令（或根据抛物线的性质），由。
所以，得最优步长。
取，即是在方向上，使达到局部极小的点，3、最速下降法。
求的极小值点的最简单的方法就是最速下降法，即从初值点出发，选择“最快的速度”下降到的极小值。假设已计算出，由于在点的梯度方向是函数值增加最快的方向，所以选择负梯度方向为搜索方向：就是使局部下降最快的方向。
因此，称为最速下降法。
其迭代公式为：
1）选取。2）对。
当时，终止迭代。
定理2 设的特征值满足。则由迭代法（1.7）产生的点列满足。
其中。这个定理说明，矩阵的最大、最小特征值差距很大的时候，最速下降法收敛比较慢。
编程要求：（1）编写一个通用函数程序，即的阶数不固定；
2）程序能够判定是否是对称正定矩阵，计算出矩阵的特征值；
3）输出迭代过程每个搜索步长和搜索向量，保存到文本文件中；
4）对于2阶矩阵，能够绘制出搜索向量的几何表示，即绘图如下：
clear;x=-18:0.5:18; y=x
x=ones(size(y))*x;
y=y*ones(size(x
z=0.5*(x.^2+6*y.^2+4*x.*y)-(4*x+10*y
meshc(z);
colormap(hot
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
三、（本题20分）众所周知，定积分的理论基础是通过分割、近似、求和、取极限的过程来实现的，请你利用matlab实现可视化的近似效果，程序结果如下图所示：
要求：（1）设计界面，能够识别输入的函数；
（2）设计界面，能够输入上下限和分割个数；
（3）分别采用左端点的函数值、中点函数值、右端点函数值计算积分的近似，并在界面上保留计算结果。
（4）要求界面设计简洁，美观。
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