4.1 几类可降阶的高阶微分方程。
4.1.1型的微分方程。
主要就是考查积分的计算。
4.1.2型的微分方程。
具体步骤：1）令，则，代入（4.1.3），有，求出其通解，即。
2）对一阶微分方程（4.1.4）进行积分得方程（4.1.3）的通解。
4.1.3型的微分方程。
具体步骤：1）令，则，代入（4.1.5），得4.1.6）
2）求出一节微分方程（4.1.6）的通解。
3）对上式分离变量并积分得原方程的通解为。
习题。1.求下列微分方程的通解。
解由两边积分得，再对一阶方程积分得通解为。
解令，则，代入方程得即…（1）
先求方程的通解，即得，再把看成的待定函数即…（2），微分之得…（3），将（2）（3）代入（1）得，积分得。
从而得，积分得。
2.下列微分方程在给定初始条件下的特解。
解对三阶微分方程两边积分得。
将代入。得，，，从而原方程的特解为。
4.2 二阶常系数线性微分方程。
4.2.1 二阶常系数线形微分方程的概念。形如。
的方程称为二阶常系数线性微分方程。其中、均为实数，为已知的连续函数。如果，则方程式 (1)变(4.
2.2) 方程(4.2.
2)叫做二阶常系数齐次线性方程，把方程式(4.2.3)叫做二阶常系数非齐次线性方程。
一．二阶常系数齐次线性微分方程。
1．解的叠加性。
定理4.2.1 如果函数与是式(4.2.2)的两个解， 则也是式(4.2.2)的解，其中是任意常数。
2.线性相关、线性无关的概念。
设为定义在区间i内的n个函数，若存在不全为零的常数使得当在该区间内有，则称这n个函数在区间i内线性相关，否则称线性无关。
3.二阶常系数齐次微分方程的解法。
定理4.2.2 如果与是方程式(4.2.2)的两个线性无关的特解，则（为任意常数)是方程式(2)的通解。
二、二阶常系数非齐次方程的解法。
定理4.2.3 设是方程(4.
2.3)的一个特解，是式(4.2.
3)所对应的齐次方程式(4.2.2)的通解，则是方程式(4.
2.3)的通解。
定理4.2.4 设是二阶非齐次线性微分方程(4.2.3)的两个的特解，那么就是对应齐次线性微分方程(4.2.2)的一个解。
定理4.2.5 设二阶非齐次线性方程(4.2.3)的右端是几个函数之和，如。
而与分别是方程与的特解，那么就是方程(4.2.4)的特解， 非齐次线性方程(4.2.3)的特解有时可用上述定理来帮助求出。
4.2.2 二阶常系数齐次微分方程。
当为常数时，微分方程。
称为二阶常系数线性微分方程。
求二阶常系数线性齐次微分方程（4.2.5）通解的步骤如下：
1)写出方程(4.2.5)的特征方程；
2)求特征方程的两个根；
3)根据的不同情形，按下表写出方程(4.2.5)的通解。
4.2.2 二阶常系数非齐次微分方程。
当为常数时，微分方程。
称为二阶常系数非齐次线性微分方程。
1.型的解法。
其中为常数，是关于的一个次多项式。方程(4.2.
8)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数，因此方程(4.2.8)的特解可能为，其中是的某个多项式函数。
把，代入方程(4.2.8)并消去，得
(4.2.9)以下分三种不同的情形，分别讨论函数的确定方法：
(1) 若不是方程式(4.2.5)的特征根， 即，则由（4.2.9）可知可取为一个的次多项式，即。
代入(4.2.9)式确定系数，得特解为；
(2) 若是（4.2.5）的特征单根， 即但，由(4.2.9)式可知，则必定次多项式，因此可取，代入(4.2.9)式确定系数，得特解；
(3) 若是（4.2.5）的特征重根，即且。由(4.2.9)式可知，则必定是次多项式，因此可取，代入(4.2.9)式确定系数，得特解；
综上所述，若，则微分方程(4.2.8)具有形如。
的特解，其中是与同次的次多项式，按不是特征方程的根，是单根，是重根依次取0,1,2.
2.型。若，则微分方程（4.2.8）的特解可设为。
其中为次多项式，，而按不是特征根或是单根依次取0或1.
习题。3.求下列微分方程的通解。
解所给微分方程的特征方程为。
其特征根为，因此所求微分方程的通解为：
解对应的齐次方程的特征方程为。
其特征根为，因此对应的齐次方程的通解为。
又由于方程右端不是特征方程的根，所以特解为，将其代入原方程，得，因此一个特解为，从而所求通解为。
解对应的齐次方程的特征方程为。
其特征根为，因此对应的齐次方程的通解为，又方程右端。
不是特征方程的根，所以特解设为。
代入原方程比较左右两端系数得，因此一个特解为，从而所求原方程的通解为。
解对应的齐次方程的特征方程为。
其特征根为，因此对应的齐次方程的通解为，又方程右端（应用定理4.2.5）
先考虑方程，因为不是特征根，故求得其特解为；再考虑方程因为。
是的根，所以可求得其特解为，从而的特解为，从而原方程的通解为。
4.求下列微分方程在给定初始条件下的特解。
解原方程的特征方程为。
其特征根为，从而通解为，由得，则方程的特解为。
解对应齐次方程的特征方程为。
其特征根为，从而对应齐次方程的通解为，又方程右端不是特征根，故可设特解为，代入原方程得，即，从而得原方程的通解为，由得，从而原方程的特解为。
4.3 微分方程在经济学中的应用。
习题。弹性问题） 函数的弹性2.7-p109
1.解 （1）由需求函数的定义，，分离变量得，两边求积分得，故，当得；从而需求函数为；
2）当得；3）当时，（）
2.解由需求函数的定义，，分离变量得，两边求积分得，又该函数关于**是递减的，则由，代入得。
3.解由题意得储蓄额函数为，投资额函数为，当，即储蓄全部用于投资，积分得，当，得国民收入函数为。
4.4差分方程简介。
4.4.1 差分方程的基本概念。
1. 差分的定义。
定义4.4.1 设函数，定义。
为函数的一阶差分；称。
为函数的二阶差分；同样，记为三阶差分。依此类推，函数的阶差分定义为：
且有。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质4.4.1（1）、（2）、（3）、（4）、（5）p197
2.差分方程。
定义4.4.2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程。
差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶。
定义4.4.3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为差分方程的解。
如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的通解。根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件。满足初始条件的解称之为特解。
4.4.2 一阶常系数线性差分方程。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为。
其中为常数，为已知函数。
当时，称方程 （4.4.4）
为一阶常系数齐次线性差分方程；当时，则（4.4.3）称为一阶常系数非齐次线性差分方程。
1.常系数齐次线性差分方程的通解。
对于一阶常系数齐次线性差分方程。
通常有如下两种解法。
1)迭代法（已知）——
2)特征方程法（设）——
2.一阶常系数非齐次线性差分方程的特解和通解。
1）型。方程（4.4.3）为4.4.6）
其中b为非零常数。
结论：方程（4.4.6）的通解为（a为待定常数）
2）型。方程（4.4.3）为4.4.7）
其中为n次多项式。
结论：若，则一阶常系数非齐次线性差分方程（4.4.7）具有形如。
的特解，其中为与为同次的待定多项式，而k的取值如下确定：
1）若，则取，即取 （4.4.8）
2）若，则取，即取 （4.4.9）
3）型。方程（4.4.3）为4.4.10）
其中a,b,d为非零常数。
结论：方程（4.4.10）的通解为。
习题。1.求下列一阶差分方程的通解：
解 （1）原方程可化为则，从而。
方程的通解为；
3）因为，则方程的通解为；
5）因为且，从而方程的通解为。
2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解：
2），且；4），且；
6），且；解 （2）由得原方程的通解为，又则，从而方程的一个特解为；
4）原方程可变为，先求对应的齐次差分方程，其通解为，再求非齐次差分方程，因为，设其特解为，代入原方程得，即，从而原方程的通解为，当时，，故原差分方程在给定初始条件下的特解为；
6）先求对应的齐次差分方程，其通解为，再求非齐次差分方程，因为，设其特解为，代入原方程得，即，从而原方程的通解为，当时，，故原差分方程在给定初始条件下的特解为；
1）证明：因为即，得，从而得；
2）由得，从而得通解为，由已知得，故原方程的解为。
5.设为期国民收入，为期消费，为投资（各期相同），设三者有如下关系：,且已知时，，其中试求和。
解由，得，可知，解得，又时，
解得，从而得，又。
习题课实验作业
第二章习题课 第3课时 一 选择题。1 设函数则的值为。ab c d 2 设函数，若f a f a 则实数a的取值范围为。a 1,0 0,1 b 1 1，c 1,0 1，d 1 0,1 3 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 ab c d 4.定义在 上的任意函数f x 都可以表示成一个奇函数。...
习题课 讲解
一 三门大炮对同一个目标轰击 每门一发炮弹 已知它们的命中率分别是0.3，0.4，0.5，目标中弹1发，2发，3发而被摧毁的概率依此为0.2，0.5，0.8.求 1 目标被摧毁的概率 2 已知目标被摧毁，求目标中弹2发的概率。解 设a 目标被摧毁，b1 目标中弹1发，b2 目标中弹2发，b3 目标中...
作业14习题课格式纸
会计学原理 习题课。目录。作业01教材第二章习题六会计分录。作业02第三章补充习题资金筹集。作业03教材第三章习题一 过程。作业04从例11 23计算a产品生产成本。作业05教材第三章习题二生产过程。作业06教材第三章习题三销售过程。作业07教材第三章习题四企业费用。作业08习题集第三章习题七利润。...