一、 数值求解如下正方形域上的poisson方程边值问题。
二、 二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为。
写成矩阵形式au=f。其中。
三 、编写求解线性方程组au=f的算法程序，用下列方法编程计算，并比较计算速度。
1． 用jacobi迭代法求解线性方程组au=f。
2． 用块jacobi迭代法求解线性方程组au=f。
3． 用sor迭代法求解线性方程组au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
4． 用块sor迭代法求解线性方程组au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
5． 用gauss-seidel迭代法求解线性方程组au=f。
6． 用块gauss-seidel迭代法求解线性方程组au=f。
四、上机报告要求。
1.简述方法的基本原理。
2.程序中要加注释。
3.对程序中的主要变量给出说明。
4.附原程序及计算结果。
5.迭代法效率分析：比较迭代法的效率，记录所需的迭代次数，所花费的计算时间。
6.此题可分组做，每组1-3人。需要注明每人完成的任务。
附参考程序：
1、用gauss-seidel迭代法求解线性方程组au=f，具体程序如下：
function [u,k]=xsgs(n)
f(2:n+1,2:n+1)=(n+1)^(2)*2;
u=zeros(n+2,n+2);
e=0.000000001;
for k=1:1000迭代求解。
er=0;
for j=2:n+1
for i=2:n+1
ub=u(i,j);
u(i,j)=(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1)+f(i,j))/4;
er=er+abs(ub-u(i,j估计误差。
endend
if er/n^2end
2、用块gauss-seidel迭代法求解线性方程组au=f，具体程序及结果如下：
function[u,k,]=xsbgs(n)
xsbgs:用块gauss-seidel迭代法求解线性方程组a*u=f
u: 方程组的解； k: 迭代次数； n: 非边界点数
a: 方程组系数矩阵的下对角线元素； b: 方程组系数矩阵的主对角线元素；
c: 方程组系数矩阵的上对角线元素；d: 追赶法所求方程的右端向量；
e: 允许误差界； er:迭代误差；
f=2*1/(n+1)^2*ones(n+2,n+2);
a=-1*ones(1,n); b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n); u=zeros(n+2,n+2);e=0.00001;
for k=1:2000
er=0;for j=2:n+1
ub=u(:,j);
d(1:n)=f(2:n+1,j)+u(2:n+1,j-1)+u(2:n+1,j+1) ;
x=zg(a,b,c,d用追赶法求解。
u(2:n+1,j)=x';
er=er+norm(ub-u(:,j),1);
endif er/n^2end
附参考程序：解线性方程组au=f的gauss-seidel迭代法。
> n=9;
b(2:n+1,2:n+1)=0.02;
u=zeros(n+2,n+2);
e=0.000000001;
tic;for k=1:1000迭代求解。
er=0;
for j=2:n+1
for i=2:n+1
ub=u(i,j);
u(i,j)=(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1)+b(i,j))/4;
er=er+abs(ub-u(i,j估计误差。
endend
if er/n^2end
t=tocku
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