复变函数作业一。
一、判断（对的用t表示，错的用f表示）
1、如果存在，那么在解析。（ f ）
2、。（f ）
3、当且仅当为实数时，为实数。（ f ）
4、设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在整个内是常数；如果是实常数，那么在内也是常数。（ t ）2、填空。
2、设是1的次根，，则= 0 。
3、在映射下，扇形区域的像区域为 。
4、若，则= 。
三、计算。1、 计算下列函数值：1）；2）。
解： 主值，2）
解： 设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈r，则有 x2-y2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，故3+4i的平方根是 2+i，或-2-i，故答案为：2+i，或-2-i
2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？
解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。
所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。
解：仅在直线上可导，在复平面上处处不解析。
3、函数是否为解析函数？求出其导数。
解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域
4、已知，求。
解：5、计算积分 1解：1
解：在内只有一个极点，所以令，3）；解：
解：四、证明：若积分路径不经过，则。
证明：如果积分路径不经过，且不绕过， 则由柯西定理得，若积分绕z=转圈，则积分值为
若绕z = i转圈，则积分值为。
故在一般情况下，积分值为。
五、证明：设是的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：
1）（为常数）；
1）证明：2）不是的共轭调和函数。
证明： 因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。和不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。
综上所述，不是的共轭调和函数。
复变函数作业二。
一、判断。1、在z=0收敛，在z=3发散。（ f ）
2、在区域内解析，且在区间（-r，r）取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数。（ t ）
3、在圆环区域内不能展开成罗朗级数。（ f ）
4、z=0是的本性奇点。（ t ）
二、填空。1、的收敛半径为。
2、展开成z的幂级数的收敛半径。
3、z=0是的 3 级零点。
4、以z=a为m级和n级极点，则z=a为的 m+n 级极点。
三、计算。1、求在处的泰勒展开式。
解：2、 求。
解： 3、 求在z=1处的泰勒展开式。
解：当z=1时，此函数的泰勒展开式为：（z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1)
4、将在以为中心的圆环域内展开为罗朗级数。
解： 四、若为整函数，且，则是不高于n 次的多项式。
证明：当时，令。
当时， 复变函数作业三。
一、 判断题（对的用“t”表示，错的用“f”表示）
1、若在区域内单叶解析，则在内。（ f ）
2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（ t ）
3、解析函数具有保形性。（f ）
4、函数在可去奇点处的留数为0。（ f ）
二、 填空题。
1、方程在单位圆内有 6 个根。
2、关于的对称点为 x+(y-1)=1 。
3、，则= －4 。
4、在点处的旋转角为 ，伸缩率为 20 。
三、 计算题。
解： 设f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)]，f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)]，f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)]，则答案为 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)]
解：解： 4、求把平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1成为不动点，使。
变为无穷远点的线性变换。
解：依题意得，设 ，因为1+i关于单位圆的对称点为 ，无穷远点关于单位圆的对称点是0，5、求把平面的单位圆变为平面的单位圆的线性变换，使。
解：设圆周内部一点z=a()变为w=0,点a(a0)关于单位圆周对称点 ，应该变为w=0 关于单位圆周的对称点 ，因此所求变换具有形式为：
其中为常数，当时， ，故取z=1，对应点w满足
因此令 从而所求的变换为。
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