第五章刚体的转动。
5-1 在图5-21中，一钢缆绕过半径为0.4 m的定滑轮吊着一个升降机，钢缆不打滑。 假设升降机以0.
5 m/s2的加速度向上提升。（1）求滑轮的角加速度。（2）如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？
（3）求当t=2 s时，轮缘上一点的瞬时加速度（切向和法向加速度）.
解：（1）由于钢缆与滑轮间无相对滑动，轮缘上各点的切向加速度与升降机的加速度相同，即0.5m/s2,
2）由于滑轮作匀角加速运动，角位移
已知，且，故。
（3）由，可知，法向加速度
t=2s时，
又总加速度为。
为总加速度与法线方向的夹角。
5-2 轮a半径ra=15cm，轮b半径rb=30cm，两轮通过一皮带耦合，如图5-22所示。 轮a从静止开始以恒定的角加速度1.2rad/s2转动，问从开始运动30s后轮b的转速（）是多大？
假定皮带不打滑。
解：由于皮带与两个轮的轮缘间无相对滑动，所以两轮轮缘上各点的切向加速度相等，设等于，两轮的角加速度分别为和，由角量与线量的关系有。
时。而 ，故
5-3 一匀质园盘从静止开始以恒定的角加速度绕过盘心的竖直轴转动，某一时刻的转速为10rev/s.再转100转后，转速达20rev/s. 试求（1）园盘的角加速度；（2）从静止到转速为15rev/s所需的时间；（3）在第（2）向的过程中园盘转了多少圈？
解：（1）由匀角加速运动的规律可知角加速度。
（2）所需时间
（3）由及
5-4 6个质量均为m的粒子与6根长度均为d的轻杆组成一个正6边形的刚体，如图5-23所示。 计算该刚体关于如下转轴的转动惯量：（1）转轴通过任意相邻的粒子；（2）转轴通过任意粒子且与6边形的平面垂直。
解：这是质量呈分立分布的刚体，由转动惯量的定义其中为到转轴的垂距，可计算如下：
解5-4图。
5-5 三根长度均为l的细杆组成一个等边三角形刚体abc如图5-24所示。 计算其关于中线的转动惯量。 假定杆的单位长度质量为。
解： 已知bc关于图中转轴的转动惯量为
而，其中 解5-5图。
5-6 一个半径为r的匀质半园环的质量为m，计算其关于如图5-25中所示的轴的转动惯量。
解：这是质量连续分布的刚体，取如图质元
与转轴的垂距
解5-6图。
5-7 在图5-26中，一匀质园盘安装在固定的水平轴上，园盘半径r=20cm，质量m=3kg.园盘边缘上绕着轻绳，轻绳下端悬挂着一个质量m=1.0kg的物体。
（1）求物体下落的加速度，园盘的角加速度以及绳中的张力；（2）物体下落3m所需的时间。
解：（1）忽略轴处可能存在的摩擦，盘受的合外力矩m=tr，对园盘用转动定理，对物体用牛顿第二定律，并注意到物体下落的加速及，列方程组如下。
联立①②③解5-7图。
解得 角加速度
张力。（2）由题意知，物体从静止下落，由于a为恒量，由可得所求时间为。
5-8 唱机的转盘由电机驱动，转盘以恒定的角加速度在2.0秒内从零加速到。 均质转盘质量为1.
5kg，半径1.2cm. 为驱动转盘所需的关于转轴的力矩多少？
如果驱动轮的外缘与转盘相接触，如图5-27所示。 求驱动轮必须施予转盘的法向力是多大？假定两轮间的摩擦系数。
解：由题意可知角速度。
角加速度 转动惯量解5-8图。
由转动定理可得驱动转盘所需的力矩为。
产生这个力矩的力必在切向，如图所示。
由切向力与正压力（沿法向指向园心）的关系知驱动轮必须施予转盘的法向力。
5-9 两个质量为m的物体悬挂在一刚性轻杆两端，杆长为l1+l2，其中l2=3l1，如图5-28所示，初始时使杆处于水平位置，杆与物体保持静止，然后释放。 求两个物体刚开始运动时的加速度。
解：如图设轻杆两端的轻绳中张力分别为t1和t2，刚开始运动的瞬间两物体的加速度分别为a1和a2，由转动定理和牛顿第二定律，列方程组如下：
轻杆转动惯量i≈0）
从①得解5-9图。
将①′代入②得。
将②′和④代入③化简得。
5-10 一长度为l的匀质细杆最初垂直地立在地板上，如图5-29所示。 如果此杆倾倒，试求杆撞击地板时的角速度是多大？假定杆与地板的接触端不发生滑动。
解：设杆的质量为m，则其对o轴的转动惯量，重力到o轴的垂距为，故重力对o的力矩为
沿顺时针方向，由转动定理我们有。
又即。分离变量积分。
可得解5-10图。
将杆倒地时的代入上式，得
5-11 图5-30表示飞轮的制动装置包括一个制动杆和一个制动靴。 飞轮质量为50 kg，半径为0.5 m，以1200 rev/min的速率旋转。
当给制动杆末端施加100n的制动力时，使飞轮停止转动所需多长时间？设飞轮与制动靴之间的摩擦系数。
解：本题涉及两个刚体，一个是飞轮，另一个是制动杆，由题意知，合外力矩使飞轮产生角加速而制动，而作用在杆上的力矩则保持平衡，设杆受到的正压力为n′，轮受到的正压力为n，根据转动定理m= iβ，我们有摩擦力对飞轮的定轴o，的力矩。
对制动杆的定轴a，和的力矩平衡。
由③得解5-11图。
又由①可得。
将n=250 n，m=50 kg代入②及⑥中可得。
由于为恒量，可由匀角加速运动公式。
即。其中将已知代入上式。
可得。5-12 一个倾角为的光滑斜面上安装着转动惯量为i的定滑轮，斜面上质量为m1的物体系在一绕在轮轴上的轻绳的一端，另一质量为m2的物体则由缠绕在轮缘上的另一轻绳悬挂着，当m2下降时，m1则被拉上斜面，如图5-31所示。定滑轮的半径为r=0.
3m而其轴的半径为r=0.1m.试计算滑轮的角加速度。
解：在图中标出了m1，m2和滑轮的受力情况，其中t1、t2分别为两轻绳中的张力，对轮及两质点分别应用转动定理和牛顿第二定律，可列如下方程
解5-12图。
由②及④可得。
由③及⑤可得。
将⑦、⑧代入①得
整理为。解得。
将 ，及代入上式，得。
5-13 计算习题5-8中，力矩在加速过程中所作的功和平均功率。
解：由转动动能定理 ，可得力矩的功为
平均功率。5-14 一蒸汽机飞轮的质量为200kg，半径为1m，如果当转速达150rev/min时阀门被关闭，设作用于飞轮轴处的平均摩擦力矩是计算（1）飞轮停止转动前力矩所作的功；（2）关闭阀门后经多长时间飞轮即可停止转动。
解：（1）关闭阀门时飞轮的角速度为。
由转动动能定理，，其中，得飞轮停止转动前摩擦力矩作的功：
（2）由于力矩是恒定的，平均角加速度也是恒定的，故有。
其中 则有。
5-15 试用转动动能定理再解习题5-10.
解：根据转动动能定理和力矩的功的定义。
在解5-10图中，重力对水平轴o的力矩为 ，则有当杆的角位置为时，重力矩的功
此时角速度为。即。可得。
当杆倒地时，， 代入上式可得。
由角加速度。
当时 . 5-16 在图5-32中，长为1.0 m的匀质杆最初静止于竖直位置，然后杆的下端获得一初始线速度，使得杆绕水平固定轴o开始旋转。
试求为使杆至少完成一周的旋转，的最小值是多大？
解：当杆通过的角位置时角速度，即可至少完成一周的旋转，设这过程中重力作的功为w，即。
而重力的元功。
将②及，代入①可得。
解5-16图。
5-17 明渠中的流水驱动着水车的叶轮，叶轮半径2.0m，如图5-33所示。 水流到达叶轮的速度是6.
0m/s，离开叶轮的速度是3.0m/s，水流量为每秒300kg.（1）水流作用于叶轮的力矩有多大？
（2）如果叶轮边缘的速度是3m/s，传送给叶轮的功率是多大？
解：（1）考虑水的一个小质元dm沿切向速度以1冲向水平的叶片，离开时速率减为2，该质元对水车中心的角动量增量为，这是因为叶片的反作用力矩所致，由合外力矩与角动量对时间变化率的关系，可知。
其中是每单位时间流经水车的水质量，即水的流量。
由作用反作用定律，水作用在水轮机叶片上的力矩为。
（2）水流传递给叶轮的功率为。
5-18 一个人坐在可绕竖直轴自由转动的转椅上，开始时，人静止地坐在转椅上，用手握住一转盘的中心轴，转盘以4rev/s的角速度旋转，其转轴在竖直位置，角动量的方向向上，如图5-34所示。 如果此人将转盘的轴倒置会发生什么现象？假定轮盘对其中心轴的转动惯量是。
解：由于系统是孤立的，对竖直轴的外力矩为零，所以系统对该轴的总角动量守恒。
常量。人将转盘轴倒置后，转盘的角动量变为，设在相互作用过程中，系统获得的角动量为l，则后来的总角动量为l-li，由于系统总角动量守恒，即。
从而 l=2li
设系统对转椅轴共同的角速度为，则有。
即人将转盘轴倒置后，整个系统将绕转椅的竖直轴以角速度旋转。
其中转盘的初角动量 ，，
5-19 一质量为m，半径为r的匀质园盘以角速度绕过其中心的竖直轴旋转，如果盘缘质量为的一小块破裂并飞离园盘，如图5-35所示，（1）园盘的角动量在边缘破损后变成多大？（2）小块被抛出多远？假定园盘与地面的距离为h.
解：在盘缘破损过程中，对轴的合外力矩为零，故总角动量守恒常量。
设盘后来的转动惯量为i′，角速度为′，则有。
即。园盘的角动量变为。
（2）小块作平抛运动。
故被抛出的水平距离为
5-20 一质量为m，半径为r的匀质园台，可以绕过中心的竖直轴无摩擦地旋转。假定初始时一个人静止地站在台边缘处，然后沿园台边缘行走。(1)如果此人步行一周回到台面的初始位置，园台将转过多大角度？
（2）如果此人回到相对于地面的初始位置，园台又将转过多大角度？
解运动过程中对竖直轴的合外力矩 m=0，系统总角动量守恒常量。
（1）园台将沿相反方向相对地面旋转，设任意时刻人、台对地面的角速度分别为和任意时刻有。
又设人对台的相对角速度为，由速度合成定理。
将②代入①得
刚体的转动课后习题答案
第五章刚体的转动。5 1 在图5 21中，一钢缆绕过半径为0.4 m的定滑轮吊着一个升降机，钢缆不打滑。假设升降机以0.5 m s2的加速度向上提升。1 求滑轮的角加速度。2 如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？3 求当t 2 s时，轮缘上一点的瞬时加速度 切向和法向加速度 解 1...
刚体转动答案
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