刚体习题和答案

作业5 刚体力学。

刚体：在力的作用下不发生形变的物体。

1、基础训练（8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t＝0时角速度为，t＝20s时角速度为，则飞轮的角加速度 -0.05 rad/s2 ，t＝0到 t＝100 s时间内飞轮所转过的角度 250rad ．

解答】飞轮作匀变速转动，据，可得出：

据可得结果。

定轴转动的转动定律：

定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

质点运动与刚体定轴转动对照。

c] 1、基础训练（2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为m的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1＜m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力。

(a) 处处相等b) 左边大于右边．

c) 右边大于左边． (d) 哪边大无法判断。

解答】逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外，由于(m1＜m2)，实际上滑轮在作减速转动，角加速度方向垂直纸面向内，所以，由转动定律可得：

c ] 2、自测提高（2）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将

(a) 小于． b) 大于，小于2 ． c) 大于2 ． d) 等于2 ．

解答】设飞轮的半径为，质量为，根据刚体定轴转动定律，当挂质量为的重物是：

所以，当以的拉力代替重物拉绳时，有：，比较二者可得出结论。

3、基础训练（9）一长为l，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m的小球，如图5-12所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0= g/l ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度= g/2l ．

解答】由转动定律：

1)开始时杆处于水平位置：

其中为小球相对于转轴的转动惯量，得：

4、基础训练（12）如图5-14所示，滑块a、重物b和滑轮c的质量分别为ma、mb和mc，滑轮的半径为r，滑轮对轴的转动惯量j＝mc r2．滑块a与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块a的加速度。

解答】由转动定律得：

4个方程，共有4个未知量：、、和。可求：

5、基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的角加速度的大小．

解答】受力情况如图5-17，，

联立以上几式解得：

6、自测提高（15）如图5-23所示，转轮a、b可分别独立地绕光滑的固定轴o转动，它们的质量分别为ma＝10 kg和mb＝20 kg，半径分别为ra和rb．现用力fa和fb分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使a、b轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fa、fb之比应为多少？(其中a、b轮绕o轴转动时的转动惯量分别为和)

解答】根据转动定律1）

其中要使a、b 轮边缘处的切向加速度相同，应有：

由（1）、（2）式有（4）

由（3）式有。

将上式代入（4），得

转动惯量：质量非连续分布：

质量连续分布：

1、基础训练（10）如图5-13所示，p、q、r和s是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点，pq＝qr＝rs＝l，则系统对轴的转动惯量为 50ml2 。

解答】据有：

摩擦力矩：

1、自测提高（12）一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为=μmgl/2

解答】在细杆长x处取线元dx，所受到的摩擦力矩dm=μ(m/l)gxdx，则。

定轴转动的动能定理：

定轴转动的角动量定理：

角动量守恒：合外力矩为零。为常量。

b ] 1、基础训练（5）如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为l、质量为m，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴o在水平面内转动，转动惯量为．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为

(a)． b)． c)． d)．

解答】把质点与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒有：

由此可得出答案。

图5-11 c ] 2、基础训练（7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴o转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度

(a) 增大b) 不变。

c) 减小d) 不能确定．

解答】把三者看作同一系统时，系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。

设为每一子弹相对与o点的角动量大小，据角动量守恒定律有：

[ a ] 3、自测提高（7）质量为m的小孩站在半径为r的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为j．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为

(a)，顺时针． (b)，逆时针．

c)，顺时针． (d)，逆时针．

解答】视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒：

可得。顺时针． (d)，逆时针．

4、基础训练（16）一转动惯量为j的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即 (k为正的常数)，求圆盘的角速度从变为时所需时间．

解答】根据

所以得 5、自测提高（16）如图5-24所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴o在竖直面内转动，转轴o距两端分别为l和l．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m的小球，以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．

解答】系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：

碰前的角动量为：

碰后的角动量为：所以得。

6、自测提高（17）如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为r，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心o的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，如图5-25所示。求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过o的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)

解答】解：（1）设为碰撞后瞬间的角加速度，由角动量守恒定律得：

2）圆盘的质量面密度在圆盘上取一半径为r,宽为dr的小环带，此环带受到的摩擦阻力矩则。所以。

四、附加题。

1．基础训练（17）在半径为r的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度 0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图5-16所示．已知圆盘对中心轴的转动惯量为．求：(1) 圆盘对地的角速度．(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周图5－16

对圆盘的速度的大小及方向？

解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对地的绕轴角速度为。

视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒，设盘的质量为m，则人的质量为m/10，有：

将（1）式代入（2）有：

2）欲使盘对地静止，则式（3）必为零，即。所以，。式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致。

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