第七章刚体力学。
习题。7．1．1设地球绕日作圆周运动，求地球自转和公转的角速度为多少rad/s？估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度。
估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）。
解：（1）地球绕日公转。
2） 球自转。
7．1．2汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度。（2）在此时间内。发动机转动了多少转？
解：（1）汽车发动机的角加速度。
（2）在此时间内，发动机的转数因。
所以 7．1．3某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为 （ t ：s）求t时刻的角速度和角加速度。
解：已知 （ t ：s）
rad/s) （rad/s2）
7．1．4半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上x和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点a当t=0时恰好x轴上。
该点的角坐标满足 （ t ：s）求（1）t=0时，（2）自t=0开始转动450，（3）转过900时，a点的速度和加速度在x和y轴上的投影。
解：已知 （ t ：s）
1）t=0时
所以 所以
加速度的切向分量、法向分量。
投影x、y轴
又 投影x、y轴
7．1．5钢制炉门由两条各长1.5m的平行臂ab和cd支撑，以角速度逆时针转动求臂和铅直成450时门中心g的速度和加速度。
解： 炉门作平动，各点的速度、加速度相等。
速度大小 当角时，与水平成450角，指右下。
加速度 的方向与ab平行，当角时，与水平成450角指右上。
7．1．6收割机拨禾轮上面通常装4到6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割机前进。压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切下来的农作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进的方向相反。已知收割机前进速率为1.
2m/s。拨禾轮直径1.5m/s，转速22rev/min，求压板运动到最底点挤压作物的速度。
解：压板轮运动为平面运动。取轮心为基点，轮下a点的速度。
取前进方向为正。
最终a点的挤压速度为0.53m/s，方向向右。
7．1．7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/s（１）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（２若飞机以250km/s的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨道。
解：（1）桨尖相对于飞机的线速度。
2）桨尖相对地面速度的大小：因为且。
桨尖的轨迹为螺旋线。
7．1．8桑塔娜汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26 m。自发动机至驱动轮的转速比为0.909，问发动机转速为每分多少转？
解：桑塔娜车轮为无滑滚动
发动机的转速等于。
7．2．2在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。（1）圆锥体为匀质；（2）密度为h的函数： 为正常数
解：（1）圆锥体匀质建立坐标o-x如图
取质元 2）密度。
质元 7．2．3长度为的均质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放下手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即倒下，求秆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）
解：建立坐标系0-xy 根据质心运动定理
0 （已考虑t=0 ）
质心始终沿y轴运动。
a点坐标 ，消去得椭圆
7．3．1（1）用积分法证明：质量为m长为的均质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于。
（2）用积分法证明：质量为m半径为r的均质薄圆盘对通过中心且在盘面内的转动轴线的转动惯量为。
解：（1）均匀杆建立坐标0-x 距轴x处取质元 di=x2dm
(2)均质圆盘，建立极坐标o-x在距极轴r处取质圆
因为所以。7．3．2图示实验用的摆，=0.92m，r=0.08m, ,近似认为圆形部分为均质圆盘，长干部分为均质细杆，求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量。
解： 根据转动惯量的基本公式和平行轴定理。
7．3．3质量为m，半径为r的均质圆盘上挖去半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径r的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
解：根据 其中 i：圆盘的转动惯量；：余下部分的转动惯量；ir：挖去部分对o的转动惯量。且。所以
7．3．5一转动系统的转动惯量i=转速，两制动闸瓦对轮的压力都为392n，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需用多少时间？
解：根据转动定理。
停止转动时 =0 -=
由已知，i= n=392n =0.4 r=0.4m
代入上式得 t=2.67s
7．3．6均质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点a时， 支点o对杆的作用并不因此冲力之作用而发生变化，则a点称为打击中心。设杆长为l，求打击中心与支点的距离。
解：设打击点距轴h，由打击产生的轴对棒的反力nx及ny，根据质心运动定理。
由于力f为瞬时作用，
根据转动定理。
代入（1）中
当nx=0时，无冲击力，此时
7．3．7现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量个为m1=0.
46kg,且m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。
自静止始，释放重物后并测得5.0s内m2下降0.75m，滑轮转动惯量是多少？
解：分别以轮、m1和m2物体为隔离体，受力如图所示。
经t=5.0s m2下降 h=0.75m4）
由（4） 由（1）、（2
7．3．8斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为r，转动惯量为i，受到驱动力矩m，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面的摩擦系数为，求重物上滑的加速度。绳与斜面平行，不计绳重量。
解：以滑块、轮为隔离体，受力：滑块、、、轮 m、（轴支持力、重力未画出）
其中 7．3．9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r，为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物，从距地面高度为h处由静止开始下落，落地时间为，然后悬挂质量较大的重物，同样自高度为h下落，所需时间为，根据这些数据确定轮盘的转动惯量。近似认为两种情况下摩擦力矩相等。
解：设摩擦力矩为m，加重物时。
消去t1得。
加重物时 消去m得
由落地高度h和时间得代入上式。
7．4．1扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线o转动，其转动惯量为i。装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r，在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度弹出，求转动装置的反冲角速度。
在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒吗？总机械能守恒否？为什么？
（弹簧质量不计）
解：弹击过程，对o点的外力矩为零，所以对o点角动量守恒。
根据系统动能定理ek2-ek1=w外+w内虽w外=0 但w内0 系统动能不守恒。
由于内力是弹性保守力，w外=0，所以系统机械能守恒。
7．4．2质量为2.97kg，长为1.0m的均质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o转动，最初静止于铅直方向。
一弹片质量为10g，一水平速度为200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角。
解：碰撞过程角动量守恒
碰撞过程角动量守恒以o点为重力势能零点有：
所以：7．4．3一质量为m1，速度为的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99 m1，长度为l的棒的端点，速度与帮垂直，棒原来静止于光滑的水平面上。子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度等于多少？
解：质心距右端的位置
根据动量定理 （）
根据对质心角动量守恒定律。考虑 则
7．5．1．10m高的烟囱因底部损坏而到下来，求其上端到达地面时的线速度。设倾倒时，底部未移动。可近似认为烟囱为细均质杆。
解：倒下过程机械能守恒，触地时。
端点的线速度
7．5．2用四根质量各为m长度为的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且ab边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当ab边达到水平时，框架质心的线速度以及框架作用于支点的压力n？
解：（1）刚体对o点的转动惯量。
２）求摆至水平位置时。
以阿ab边达水平时质心的位置为重力势能零点：
根据机械能守恒
质心速度 （３）求轴ｏ支持力。
刚体力学答案
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