《几何原本》之命题。
董宵君 (10081712013) 师范2班。
命题18：如果一条直线切于一个圆，则圆心到切点的连线垂直于切线。
证明（一）：如图所示。
用反证法证明，假设ab不垂直于ef，那么过点a作acef
则：°ab>ac（大角对大边）
但是 ab=ad，ac>ad
得出矛盾。ac不垂直于ef，abef
如果一条直线切于一个圆，则圆心到切点的连线垂直于切线。
证毕。证明（二）
过点b作圆a的直径bc
右图是轴对称图形，ab是对称轴，
沿直线ab对折图形时，at与ad重合，因此，∠bat=∠bad=90°.
延伸的定理：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。
由类比思想得：由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直。
命题8：如果在直角三角形中，由直角顶点向底边作垂线，则与垂线相邻的两个三角形都与原三角形相似且它们两个彼此相似。
证明：如图所示。在和中。
和相似。一下同理。
延伸定理：如果在直角三角形中，由直角顶点向底边作垂线，则，，。
命题22：内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。
证明：如图所示。
在中，°（同弧所对的圆周角相等）
（同弧所对的圆周角相等）
内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。 证毕。
延伸命题：命题47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形的面积等于两直角边上的正方形面积之和。
证明：如图所示。
的面积等于。
的面积等于矩形adji的面积的一半，
在直角三角形中，直角所对的边上的正方形的面积等于两直角边上的正方形面积之和证毕
由此命题就转化成我们熟知的勾股定理，勾股定理在与方程思想的综合应用方面很重要。数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数、四边形、圆等知识结合在一起考查。总之，勾股定理的应用非常广泛，包括了理论与实际生活中的问题，是许多知识点的桥梁。
因此，重视勾股定理的运用，对提高解题能力具有重要意义。
命题6：如果在一个三角形中，有两个角彼此相等，则等角所对应的边也彼此相等。
证明：如图所示：已知：在中，。求证：ab=ac。
假设abac，不妨设ab>ac
在 ab上截取db=ac，连结cd
db=ac，bc=bc，
dc=abdc=ab>ac 这是不可能的！
ab=ac即：如果在一个三角形中，有两个角彼此相等，则等角所对应的边也彼此相等证毕。
这个命题是等腰三角形的判定定理。在中学广泛的应用，计算题、证明题等都有涉及到此命题。
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