九年级数学第二轮专题复习

二次函数综合问题。

内容概要：二次函数是在初中阶段学习的一个重要的初等函数，通过这一内容的复习，同学们要能够掌握二次函数的性质，会用描点法画出二次函数的图象，并能通过图象看出二次函数所具有的性质，能够了解二次函数与二次方程的内在联系，形成数形结合的数学思想。

能够熟练地对二次函数进行配方，将其转化为顶点的形式，即为会据已知条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式，能够灵活运用所学过的代数、几何方面的知识解决二次函数的有关综合问题。

1、如图，抛物线经过点a(4，0)、b（1，0)、c（0，－2）三点．

1）求此抛物线的解析式；

2）p是抛物线上的一个动点且在x轴上方，过p作pm⊥x轴，垂足为m，是否存在点p，使得以a、p、m为顶点的三角形与△oac相似？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；

解：（1）设抛物线的解析式为

代入三点的坐标得解得：

所以抛物线的解析式为：

2）设点p的坐标为

如图，由题意得1如果那么解得x=5不合题意．

如果那么。解得x=2，此时点p的坐标为（2，1）．

考点归纳：待定系数法求二次函数解析式；二次函数性质；相似三角形的判定；要求会用字母表示线段长度、点的坐标，会对代数式进行合理变形；结合图形考查分类讨论思想。

2、直线分别交x轴、y轴于a、b两点，△aob绕点o按逆时针方向旋转90°后得到△cod，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过a、c、d三点．

1) 写出点a、b、c、d的坐标；

2) 求经过a、c、d三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点g的坐标；

3) 在直线bg上是否存在点q，使得以点a、b、q为顶点的三角形与△cod相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(－1，0)．

2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过a(3，0)、c(0，3)、d(－1，0) 三点，所以解得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点g的坐标为(1，4)．

3）如图2，直线bg的解析式为y＝3x＋1，直线cd的解析式为y＝3x＋3，因此cd//bg．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ab⊥cd．因此ab⊥bg，即∠abq＝90°．

因为点q在直线bg上，设点q的坐标为(x，3x＋1)，那么．

rt△cod的两条直角边的比为1∶3，如果rt△abq与rt△cod相似，存在两种情况：

当时，．解得．所以，．

图2图3另解：如图3，作gh⊥y轴，qn⊥y轴，垂足分别为h、n．

通过证明△aob≌△bhg，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠abg＝90°．

在rt△bgh中，，．

当时，．在rt△bqn中，，．

当q在b上方时，；当q在b下方时，．

当时，．同理得到，．

考点归纳：图形旋转的性质；求二次函数解析式；动点问题中确定两个三角形相似的基本解题思路；考查数学分类讨论思想。

3、如图，平面直角坐标系中，已知抛物线经过a(－4,0)、b(0,－4)二点，且对称轴为直线x=-1。

1）求抛物线的解析式；

2）若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，△mab的面积为s，求s关于m的函数关系式；

3）若点p是抛物线上的动点，点q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点p、q、b、o为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为有过a（-4，0）和b（0，-4），得：

解得：则抛物线的解析式为：

2)如图2，直线ab的解析式为y＝－x－4．过点m作x轴的垂线交ab于d，那么．所以。

(3) 当ob为平行四边形的一边时，则pq//ob，pq＝ob＝4 。

设点q的坐标为，点p的坐标为．

当点p在点q上方时，．解得．

此时点q的坐标为（如图3），或（如图4）．

当点q在点p上方时，．

解得或（与点o重合，舍去）．此时点q的坐标为(－4,4) （如图5）．

图3图4图5

当ob为平行四边形的对角线时，由图形的中心对称易得q的坐标为（4，-4）

考点归纳：求二次函数解析式；坐标系中图形面积的求法；平行四边形的判定；数学分类讨论思想。

4、如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为a.过点作直线轴于点m，交抛物线于点b.记点b关于抛物线对称轴的对称点为c（b、c不重合）.连结cb,cp。

1）当m=3时，求点a的坐标及bc的长；

2）连结ca，问m为何值时ca⊥cp？

3）过点p作pe⊥pc且pe=pc，问是否存在m，使得点e落在x的正半轴上？若存在，求出m的值，并写出相对应的点e坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。

令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴a（6，0）。当x=1时，y=5。∴b（1，5）。

抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且b，c关于对称轴对称，bc=4。

2）过点c作ch⊥x轴于点h（如图1）

由已知得，∠acp=∠bch=90°，∴ach=∠pcb。

又∵∠ahc=∠pbc=90°，∴agh∽△pcb。

抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且b，c关于对称轴对称，bc=2（m－1）。

b（1，2m－1），p（1，m），∴bp=m－1。

又∵a（2m，0），c（2m－1，2m－1），∴h（2m－1，0）。

ah=1，ch=2m－1，，解得m=

3）存在。由题意得：bc=2（m－1），pm=m，bp=m－1，∠cpe=90°，∴mpe+∠bpc=∠mpe+∠mep=90°，pc=ep。

△bpc≌△mep，∴bc=pm，即2（m－1）=m，解得m=2。

此时点e的坐标是（2，0）。

考点归纳：二次函数解析式的确定；轴对称图形的性质；相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；会运用点的坐标表示线段的长。

5、已知二次函数的图象经过点a（－3，6），并与x轴交于点b（－1，0）和点c，顶点为p。

1）求：这个二次函数的解析式；

2）设d为线段oc上的一点，满足∠dpc＝∠bac，求点d的坐标。

解：（1）因为函数的图象经过点a（－3，6），b（－1，0），所以有，解得，因此所求的二次函数的解析式是。

2）∵，顶点p的坐标是（1，－2），由方程，解得，∴点c的坐标是（3，0）。作ae、pf垂直于轴，垂足分别为e、f，那么ae＝＝6，ec＝eo＋oc＝3＋3＝6，∴ae＝ce，即△aec是等腰直角三角形，∴∠ace＝45°。同理可得△pfc是等腰直角三角形，∠pcf＝45°。

设点d的坐标为，那么dc＝oc－od＝3－，∵pcd＝∠acb，∠dpc＝∠bac，∴△dpc ∽△bac。根据相似三角形性质，，即，解得，∴点d的坐标为。

考点归纳：用待定系数法求二次函数解析式；会确定抛物线与x轴交点和顶点坐标；相似三角形的判定与性质；能根据提供的代数信息，发现隐含的几何条件；在函数中善于把角的问题转化为边的问题；数形结合的数学思想。

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