八年级下册数学

1．如图，ad为等边△abc边bc上的高，ab＝4，ae＝1，p为高ad上任意一点，则ep+bp的最小值为（）

a、 b、 c、 d、

2．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形afbdce，它的面积为1；取△abc和△def各边中点，连接成正六角星形a1f1b1d1c1e1，如图(2)中阴影部分；取△a1b1c1和△d1e1f1各边中点，连接成正六角星形a2f2b2d2c2e2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形a4f4b4d4c4e4的面积为___

3．如图，点a1，a2，a3，a4，…，an在射线oa上，点b1，b2，b3，…，bn―1在射线ob上，且a1b1∥a2b2∥a3b3∥…∥an﹣1bn﹣1，a2b1∥a3b2∥a4b3∥…∥anbn﹣1，△a1a2b1，△a2a3b2，…，an﹣1anbn﹣1为阴影三角形，若△a2b1b2，△a3b2b3的面积分别为，则△a1a2b1的面积为面积小于2014的阴影三角形共有个．

4．如图，△abc是边长为1的等边三角形．取bc边中点e，作ed∥ab，ef∥ac，得到四边形edaf，它的面积记作s1；取be中点e1，作e1d1∥fb，e1f1∥ef，得到四边形e1d1ff1，它的面积记作s2．照此规律作下去，则s2014

5．在rt△abc中，∠c=90°，，把这个直角三角形绕顶点c旋转后得到rt△a'b'c，其中点b' 正好落在ab上，a'b'与ac相交于点d，那么．

6．把一张矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和点d重合，折痕为ef．若ab = 3 cm，bc =4 cm．

1）求线段df的长；

2）连接be，求证：四边形bfde是菱形；

3）求线段ef的长．

7．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形abcd中，点e是bc的中点，点f是线段ae上一点，bf的延长线交射线cd于点g.若＝3，求的值．

1)尝试**：

在图1中，过点e作eh∥ab交bg于点h，则ab和eh的数量关系是___cg和eh的数量关系是___的值是___

2)类比延伸：

如图2，在原题条件下，若＝m(m＞0)则的值是___用含有m的代数式表示)，试写出解答过程．

3)拓展迁移：

如图3，梯形abcd中，dc∥ab，点e是bc的延长线上的一点，ae和bd相交于点f，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)则的值是___用含a、b的代数式表示)．

8．如图，在□abcd中，e是ab的中点，ed和ac相交于点f，过点f作fg∥ab，交ad于点g．

1）求证：ab=3fg；

2）若ab:ac=:，求证：．

9．如图，已知抛物线与轴相交于a、b两点，与轴相交于点c，若已知b点的坐标为b（8，0）.

1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；

2）连接ac、bc，试判断△aoc与△cob是否相似？并说明理由；

3）m为抛物线上bc之间的一点，n为线段bc上的一点，若mn∥轴，求mn的最大值；

4）在抛物线的对称轴上是否存在点q，使△acq为等腰三角形？若存在，求出符合条件的q点坐标；若不存在，请说明理由。

10．已知：如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连接和．

１）求证：四边形是菱形。

２）若，△的面积为，求△的周长。

３）**段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

参***。1．b．

解析】试题分析：如图所示：

连接ec，交ad于点p，此时ep+bp最小，过点e作ef⊥bc于点f，ad为等边△abc边bc上的高，b点与c点关于ad对称，又∵ab=4，bd=cd=2，ad=2，ef⊥bc，ad⊥bc，ef∥ad，△bef∽△bad，解得：bf=1.5，fd=0.

5，ef=，在rt△efc中。

ep+bp的最小值为：ep+bp=．

故选b．考点：轴对称-最短路线问题．

解析】∵正六角星形a2f2b2d2c2e2边长是正六角星形a1f1b1d1c1e1边长的，正六角星形a2f2b2d2c2e2面积是正六角星形afbdce面积的。

同理∵正六角星形a4f4b4d4c4e4边长是正六角星形afbdce边长的，正六角星形a4f4b4d4c4e4面积是正六角星形afbdce面积的。

解析】试题分析：根据面积比等于相似比的平方，可得出，，再由平行线的性质可得出，，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：

4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．

试题解析：由题意得，△a2b1b2∽△a3b2b3，又∵a1b1∥a2b2∥a3b3，oa1=a1a2，b1b2=b2b3

继而可得出规律：a1a2=a2a3=a3a4…；b1b2=b2b3=b3b4…

又△a2b1b2，△a3b2b3的面积分别为，s△a1b1a2=，s△a2b2a3=2，继而可推出s△a3b3a4=8，s△a，4b4a5=32，s△a5b5a6=128，s△a6b6a7=512，s△a7b7a8=2048，故可得小于2014的阴影三角形的有：△a1b1a2，△a2b2a3，△a3b3a4，△a4b4a5，△a5b5a6，△a6b6a7，共6个．

考点： 1.相似三角形的判定与性质；2.平行线的性质；3.三角形的面积．

解析】试题分析：∵△abc是边长为1的等边三角形，△abc的高=absina=1×=，de、ef是△abc的中位线，af=，s1=××

同理可得，s2=×；

sn=×（n﹣1；

s2014=·（2013．

故答案是·（）2013．

考点：相似三角形的判定与性质．

解析】试题分析：作ch⊥ab于h，先在rt△abc中，根据余弦的定义得到cosb=，设bc=3x，则ab=4x，再根据勾股定理计算出ac=4x，在rt△hbc中，根据余弦的定义可计算出bh=x，接着根据旋转的性质得ca′=ca=4x，cb’=cb，∠a′=∠a，所以根据等腰三角形的性质有b′h=bh=x，则ab′=x，然后证明△adb′∽△a′dc，再利用相似比可计算出b′d与dc的比值．

作ch⊥ab于h，如图，在rt△abc中，∠c=90°，cosb=，设bc=3x，则ab=5x，ac==4x，在rt△hbc中，cosb=，而bc=3x，bh=x，rt△abc绕顶点c旋转后得到rt△a′b′c，其中点b′正好落在ab上，ca′=ca=4x，cb′=cb，∠a′=∠a，ch⊥bb′，b′h=bh=x，ab′=ab-b′h-bh=x，∠adb′=∠a′dc，∠a′=∠a，△adb′∽△a′dc，ab’:a′c =b’d:dc ，即x:

4x =b′d:dc ，

故答案为．考点：旋转的性质．

6．（1）；（2）证明见解析；（3）.

解析】试题分析：（1）由折叠知，bf=df．在rt△dcf中，利用勾股定理可求得，df的长；

2）利用翻折变换的性质得出∠2=∠3，be=de，bf=df，进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；

3）本题可利用相似解决，由于折叠，可知bd⊥ef，利用直角三角形相似的性质：对应边成比例求得结果．

1）由折叠知，bf=df．

设bf=x,则df=x，cf=4-x,cd=ab=3

在rt△dcf中，利用勾股定理得：x2-(4-x)2=32

解得：x=.

2）连接be，ad∥bc，∠1=∠2，将一张矩形纸片（矩形abcd）按如图方式折叠，使顶点b和d重合，∠2=∠3，be=de，bf=df，∠1=∠3，ed=df=de=bf，四边形ebfd是菱形；

3）连接bd，得bd=5cm，利用，易得ef=cm.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质。

7．(1)ab＝3eh cg＝2eh (2) (3)ab＋1

解析】(1)依题意，过点e作eh∥ab交bg于点h，如图1′所示，则有△abf∽△ehf

图1′＝＝3，ab＝3eh

abcd，eh∥ab

eh∥cd又∵e为bc的中点，eh为△bcg的中位线，cg＝2eh，∴＝

2)如图2′所示，作eh∥ab交bg于点h，图2′

则△efh∽△afb

＝＝m，ab＝meh

abcdab＝cd＝meh

eh∥ab∥cd

△beh∽△bcg

＝＝2，∴cg＝2eh，∴＝

3)如图3′所示，过点e作eh∥ab交bd的延长线于点h，则有eh∥ab∥cd

图3′eh∥cd

△bcd∽△beh

＝＝b，cd＝beh

又＝a，ab＝acd＝abeh

eh∥ab，∴△abf∽△ehf

＝＝＝ab＝＝＝ab＋1

8．见解析。

解析】试题分析：（1）平行四边形的性质、线段中点的定义推知af:fc＝ef:

ed＝1:2．然后由平行线的性质和平行线分线段成比例得得到：fg:

cd＝af:ac＝1:3，所以fg:

ab＝1:3，即ab=3fg；

2）根据已知条件可以设ab＝k，ac＝k，则ae＝k，af＝k．通过证△aef∽△acb，得到对应角∠aef=∠acb．然后易证△fdg∽△adf，所以df:da＝dg:df，即df2=dgda．

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