有理数（一）
主编吴世坤责编 lcl
一。 教学内容：
1. 数怎么不够用了 2. 数轴 3. 绝对值 4. 有理数加法。
二。 重点、难点：
重点：1. 正负数的意义，有理数的分类。
2. 数轴的画法，用数轴上的点表示有理数，互为相反数的概念，用数轴比较数的大小。
3.绝对值的概念，化简，用绝对值比较两个负数的大小。
4. 有理数加法法则和相关的运算律。
难点：1. 正负数在表示相反意义的量中的应用。
2. 数轴的画法，相反数的理解。
3. 绝对值的化简。
4. 运用有理数加法法则和运算律进行简化运算。
三。 教材分析：
1. 掌握正数、负数和有理数的概念及有理数的分类，会用正负有理数表示具有相反意义的两个量。
2. 知道数轴有三要素——原点、正方向、单位长度并能画出数轴。能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。会比较数轴上的数的大小。
3. 理解绝对值的意义，给一个数能求出这个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。
4. 会进行有理数的加法运算，能运用加法运算律简化加法运算。
例题分析】例1. 0是（ ）
a. 正数 b. 负数 c. 自然数 d. 整数。
解：d分析：学了负数后，小学所学的数扩大到了有理数范围，零是一个独特的数，它虽然不是正数，也不是负数，但它是整数，还是一个偶数。
例2. （1）若把收入规定为正的，则表示什么？
（2）若把后退规定为负的，则米表示什么？
解：（1）元表示支出100元。
（2）米表示前进10米。
例3. 把下列各数分别填在题后相应的集合中：
解：正数集合：（）
负数集合：（）
整数集合：（）
分数集合：（）
正整数集合：（）负整数集合：（）
正分数集合：（）负分数集合：（）
例4. 把下列各数用数轴上的点表示出来并用“<”号把它们连接起来：
解：说明：在数轴上画一个数所对应的点时，常常把点画成一个黑圆点，以免与刻度线相混淆，比较三个以上的有理数的大小时，可先把这些数表示在数轴上，左边的数小，越往右边的数越大，然后再用“<”号把它们从左到右连接起来，反之亦然。
例5. 指出下列数轴上a、b、c、d、e各点分别表示的是什么数，并指出各数的相反数。
解：a点表示，相反数是1。 b点表示1.5，相反数是。
c点表示0，相反数是0。 d点表示，相反数是。
e点表示，相反数是。
例6. 化简下列各数前面的双重符号：
解：是的相反数，即也就是，所以。
是的相反数，即也就是，所以。
是本身，所以。
是本身，所以。
分析：从以上四个等式不难发现简化“有理数前面的双重符号的法则”，即同号得“+”异号得“－”
*例7. 已知，求的值。
解：因为。所以或所以，
例8. 绝对值小于4的整数有哪些？
解：有。例9. 计算：
解：（1）分析：把正数与负数分别结合相加比较简便。
解：（2）分析：把同分母的分数、互为相反数的数分别结合相加比较方便。
模拟试题】一。 填空题：
1. 最小的自然数是___最大的负整数是___最小的非负整数是___
2. 把下列各数分别填入相应的大括号内。
正数集合。负数集合。
整数集合。分数集合。
3. 不用负数说出下列各题的意义。
（1）某企业2023年的生产结余情况是万元。
（2）运走吨化肥。
（3）向东走了米。
4. 写出所有比大的负整数。
5. 如果a的相反数是a，则a是。
*6.的倒数的相反数是。
*7. 数轴上与原点相距4.3个长度单位的点有___它们表示的数是___
8. 若a表示大于0而小于1的数，比较大小有：a __a __
9. 化简符号：
10.的相反数的绝对值是___
*11. 如果a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则___
12. 绝对值小于6的所有负整数的和是___所有正整数的和是___
13. 画数轴并在数轴上作出表示下列各数的点：
二。 选择题：
1. 下列说法中正确的是（ ）
a. 一个数不是正数就是负数 b. 0不是自然数。
c. 0是整数d. 整数又叫自然数。
2. 下列图中是数轴的是（ ）
3. 如果一个数的绝对值是8，则这个数是（ ）
a. 8 b. c. 8或 d. 以上结论都不对。
*4. 若，则一定是（ ）
a. 零 b. 负数 c. 正数 d. 负数或零。
5. 下列说法正确的是（ ）
a.是相反数 b.和是相反数。
c.和是相反数 d.的相反数是2
三。 解答题：
1. 在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接起来。
2. 求出绝对值大于2小于的所有正整数的和。
3. 已知，求的值。
4. 计算（可用简便方法计算）
5. 已知，求下列代数式的值。
a. b.
*6. 已知计算。
（1）的相反数与的倒数的相反数的和。
（2）的绝对值与的绝对值的和。
有理数（一）
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一。教学内容：
1. 有理数的减法。 2. 有理数的加减法混合运算。 3. 水位的变化。
二。 重点、难点：
重点：1. 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
2. 会用分数或小数的有理数的加减混合运算，适当应用运算律简化运算，综合运用有理数及其加减法的有关知识解决简单的实际问题。
3. 有理数的混合运算，可以统一成加法及加法运算可以写成省略括号前面加号的形式。
难点：1. 有理数的减法法则。 2. 用数学知识解决实际问题。
三。 教材分析：
1. 会运用有理数减法法则。
2. 会进行有理数的加法混合运算，知道几个正数或负数的和，也叫代数和——即省掉加号不写。
3. 用数学知识解决一些实际问题。
例题分析】例1.
分析：先运用有理数减法法则，变减法为加法，再由有理数加法法则进行计算。
解：原式（统一成加法）
加法交换律）
加法结合律）
※例2. 若，试判断的符号。
分析：由得，是根据“负数的相反数是正数”的道理，，是根据“两个正数的和仍是正数”的道理。
解： 例3. 把写成省略加号和括号的和的形式并读出这个和。
分析：式中的“＋”号可读作“正，负”也可读成“加，减”，但必须注意第一个加数前的符号不能读作“加，减”，把几个有理数的和或差写成省略加号和括号的和的形式时，第一步要根据减法法则把减法转化为加法，第二步才能省略加号和括号。
解：原式。读作：负4，负3，正8，负5的和，或者读作，负4减3加8减5。
※例4.两数在数轴上的位置如图所示，，，则下列正确的是（ ）
a. b.
c. d.
分析：这是一道综合题，涉及到数轴，有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，先从考虑m、n、h、g是正数还是负数入手，再分别从正数、负数比较它们的大小，从a、b在数轴的位置可知，并且，所以，由加减运算性质可知且，即，也可以把它们在数轴上的位置表示出来，可以更直观地比较它们的大小。 解：
d。例5. 计算：
解：原式（代数和）
加法结合律）
模拟试题】一。 判断题： 1. 若两个数的差是正数，则这两个数都是正数。（
2. 减去一个数等于加上这个数的相反数。（
3. 零减去任何有理数，其差是减数的相反数。（
4. 若两个有理数互为相反数，则它们的差为零。（
二。 填空题：
1. 把写成代数和形式___
2.比3小___比___大。
3. 0.125的倒数减去的相反数，所得的差是___
4. 11的相反数与的绝对值的差是___比小的数是___
5. 若，则___0，若，则___0.
6.的相反数是7.的相反数比的绝对值大___
三。 解答题： 1. 求与在数轴上所有对应点的两点之间的距离，并列出算式。
2. 已知，且异号，求的值。
※3. 已知： 求的值。
4. 当时，求代数式的值。
5. 列式计算： （1）与5的差的绝对值。
（2）和是，一个加数是，求另一个加数。
（3）求减去与的和的差。
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