1. 证明：
证明：记，根据向量范数的定义有：
设中的最大值为，其值为a（1kn），即=a. 则有：
=a所以。根据有：
n所以。因此得证。
2. 证明：
2）.并说明与相容。
证明：（1）先证。记，==
n==所以。
1）根据矩阵范数的定义：
因此存在，使=.根据（※）式：
即。2）同理，存在，使=.根据（※）式：
所以得证。2）设非负的对称阵的特征值从大到小排列为， ,则其均为非负实数。
则tr()=
1）根据矩阵的迹等于所有特征值之和有：
tr()=tr()=n= n
n= n因此。
因此。得证。
3）与相容，因此：
则与相容。3. 设a对称正定，记=，.证明为上一种范数，若非正定则如何？
解：（一）证明：
1）由于a对称正定，则=0，.
当且仅当时， =0.即=0
则范数的正定性可证。
则范数的齐次性可证。
3）由a为对称阵有：
构造以下二次型内积：
成立。因此：
即。根据（※）式有：
即。范数的三角不等式可证。
根据（1）、（2）、（3）证明为上一种范数。
二）若a非正定，根据=的定义有：
0，当时， =0，而反过来不一定成立，即不是=0成立的充要条件。因此不满足正定性，不能证明为上一种范数。
但是a虽非正定，仍满足齐次性与三角不等式。
4. 不等式1和是否一定成立？证明你的结论。
证明：根据定理1.6，设为上任一种矩阵范数，对于有：
1）对于单位矩阵i，其特征值为1，即=1，根据式（※）因此不等式1恒成立。
2）当为非奇异矩阵时，其逆矩阵存在。此时：
由于（1）中已证明1恒成立，且根据矩阵范数的相容性有：
即。当0时：
因此当非奇异，且不为0时， 一定成立。
5. 设，，定义为：
计算，和，并证明1.解：
由于各项之间为等比数列，公比为q，q=。按照等比数列求和公式：
则：由第2题中结论有：
所以1。
第二次数学作业
在学生学习数列与不等式的过程中，我认为学生最大的难题是数列不等式的证明，而这种数列与不等式的综合问题，又常常是中考的压轴题，它的解决方法很多，第一次学习学生不能从众多的方法中选出适合的解题方法，如放缩法，数学归纳法，不等式 公式法 等等，对于一些特殊形式的数列不等式，可采取构造函数法，而构造函数过程...
第二次数学建模竞赛选拔题目
北京理工大学数学建模第二次选拔考试。1.第二次数学建模竞赛的时间为 5月24日 5月31日。2.第二次数学建模竞赛的上交时间 1 电子版请于5月31日上午8 00前上传到ftp 同时发送到邮件主题为数学建模协会编号 队员名字。2 纸质版请于5月31日上午11 00前，上交至理学楼302陈婷婷老师处。...
2023年第一学期第二次数学作业检查总结
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