完成时间正月初五姓名班学号。
走向211数学训练高三寒假数学模拟试题第9套。
命题： 审核：
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
1．已知=2+i，则复数z的共轭复数为。
a．-3-i b．-3+i c．3+i d．3-i
2．的展开式中的常数项为 a．－15 b．15 c．－20 d．20
3．己知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q：∈r，lx+l l≤x，则。
a． pq为真命题 b．pq为假命题 c．pq为真命题 d． pq为真命题。
4．已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+）
a． b． c． d．
5．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为。
a．6 b．4 c．2 d．
6．把函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为。
a．x=0 b．x= c．x=— d．x=
7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x满足。
a．x≤一l或x≥4 b．x≤-l c．-1≤x≤4 d．x≥4
8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为。
a．1 b． c． d．2
9．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0 的实根个数分别为a、b，则a+b=
a．14b．10c．7d．3
10．直线l与双曲线c：交于a、b两点，m是线段ab的中点，若l与om （o是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为。
a． b． c．2 d． 3
11．曲线y=与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为。
a．1－ln2 b．2－2n2 c． ln2 d．2ln2－1
12．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为。
a．l0cm b．10 cm c．10cm d．30cm
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．函数y=的定义域为。
14．向圆(x一2）2+（y—）=4内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为。
15．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，若|af| =2|bf|=6，则。
p16．在△abc中，（则角a的最大值为。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分12分） 已知数列满足：.
（i）求数列的通项公式；
ii）设，求。
18．（本小题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，m、n分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，o为圆心，图（3）是正六边形，点p为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
i）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
ii）用随机变量表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥p-abcd中，pc⊥底面abcd，abcd是直角梯形，ab⊥ad，ab∥cd，ab= 2ad =2cd =2．e是pb的中点．
（i）求证：平面eac⊥平面pbc;
（ii）若二面角p-a c-e的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值．
20．（选做）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，长为的线段的两端点c、d分别在x轴、y轴上滑动，．记点p的轨迹为曲线e．（i）求曲线e的方程；
（ii）经过点（0，1）作直线l与曲线e相交于a、b两点，当点m在曲线e上时，求的值．
21．（选做）（本小题满分12分）已知。（i）求函数f（x）的最小值；
（ii）（i）设。
ii）若，且证明：
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲。
如图，在△abc中，bc边上的点d满足bd=2dc，以bd为直径作圆o恰与
ca相切于点a，过点b作be⊥ca于点e，be交圆d于点f．
（i）求∠abc的度数： （ii）求证：bd=4ef．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程。
极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆c1的极坐标方程为p=4（cos+sin，p是c1上一动点，点q在射线op上且满足oq=op，点q的轨迹为c2。
（i）求曲线c2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ii）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤<）l与曲线c2有且只有一个公共点，求的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲。
设f（x）=|x|+2|x-a|（a>0）．（i）当a=l时，解不等式f（x）≤4；
（ii）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围。
走向211数学训练高三寒假数学模拟试题第9套参***。
一．选择题：a卷：aabcb cddcb cb
b卷：cbdac bacba db
二。填空题：（13）(lg2，＋∞1415）4 （16）
三．解答题：
17.解：（ⅰ32－1)＝31分。
当n≥2时。
(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－15分。
当n＝1，＝32n－1也成立，所以an6分。
ⅱ）bn＝log3＝－(2n－17分。
＝(－110分。
(112分。
18.（i）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件a1、a2、a3，由题意知，a1、a2、a3互相独立，且p(a1)，p(a2)，p(a3)， 3分。
p(a1 a2 a3)= p(a1) p(a2) p(a36分。
（ii）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则。
p(ξ=3)= p(a1 a2 a3)+ p()=p(a1) p(a2) p(a3)+ p()p()p()
p(ξ=1)=1－=．8分。
所以分布列为。
数学期望eξ=1×+312分
19.解：（ⅰpc⊥平面abcd，ac平面abcd，∴ac⊥pc，ab＝2，ad＝cd＝2，∴ac＝bc＝，∴ac2＋bc2＝ab2，∴ac⊥bc，又bc∩pc＝c，∴ac⊥平面pbc，ac平面eac，∴平面eac⊥平面pbc4分。
ⅱ）如图，以c为原点，、、分别为x轴、
y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则c(0，0，0)，a(1，1，0)，b(1，－1，0)．
设p(0，0，a)（a＞0），则e6分。
(1，1，0)，＝0，0，a)，(取m＝(1，－1，0)，则m·＝m·＝0，m为面pac的法向量．
设n＝(x，y，z)为面eac的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cosm，n|＝＝则a＝210分。
于是n＝(2，－2，－2)，＝1，1，－2)．设直线pa与平面eac所成角为θ，则sinθ＝|cos，n|＝＝即直线pa与平面eac所成角的正弦值为．
20.解：（ⅰ设c(m，0)，d(0，n)，p(x，y)．由＝，得(x－m，y)＝(x，n－y)，得2分。
由||＝1，得m2＋n2＝(＋1)2，∴(1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线e的方程为x2＋＝15分。
ⅱ）设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由＝＋，知点m坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线e方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x27分。
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由点m在曲线e上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝29分。
这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2
4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，cos12分。
21.解：（ⅰf(x)＝x1分。
当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞时，f(x)＞0，f(x)单调递增．
当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna4分。
ⅱ）（设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则。
当0＜t＜a时，g(t)＝f(a＋t)＋f(a－t)
a＋t－＋a－t－＝＜0， …6分。
所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，故f(a＋t)＜f(a－t8分。
ⅱ）由（ⅰ）f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ）得。
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