班级姓名成绩。
一．填空题：（每小题8分，共64分）
1.若对一切θ∈r，复数z＝(a＋cosθ)＋2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为。
2. △abc内接于单位圆，三个内角a、b、c的平分线延长后分别交此圆于a1、b1、c1，则值为。
3. 将关于x的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19+x20表为关于y的多项式。
g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则 a0+a1+…+a20
4. 已知f(x)是定义在(0，+∞上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，则a的取值范围是。
5. 设α、β满足0＜α＜2π，若对于任意x ∈r，cos(x+α)cos(x+β)cos(x+γ)0，则。
6．如图，四面体dabc的体积为，且满足∠acb＝45，ad+bc+＝3，则cd
7．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n
8. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为。
二．解答题：（共56分）
9. （本题满分16分）
给定整数，设是抛物线与直线的一个交点。 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点。
10.（本题满分20分）
设，求证：当正整数n≥2时，an+111.（本题满分20分）
过抛物线y＝x2上一点a(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点d，交y轴于点b，点c在抛物线上，点e**段ac上，满足＝λ1；点f**段bc上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段cd与ef交于点p，当点c在抛物线上移动时，求点p的轨迹方程．
高二数学兴趣小组练习（12）答案。
一．填空题：（每小题8分，共64分）
1. 若对一切θ∈r，复数z＝(a＋cosθ)＋2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为。
解：依题意，得|z|≤2(a＋cosθ)2＋(2a－sinθ)2≤42a(cosθ－2sinθ)≤3－5a2．
2asin(θ－3－5a2(φ＝arcsin)对任意实数θ成立．
2|a|≤3－5a2|a|≤，故 a的取值范围为[－，
2．△abc内接于单位圆，三个内角a、b、c的平分线延长后分别交此圆于a1、b1、c1，则。
的值为。a．2b．4c．6d．8
解：aa1·cos＝2sin(b+)cos＝sin(a+b)+sinb＝sinc+sinb．
aa1·cos+bb1·cos+cc1·cos＝2(sina+sinb+sinc)．故原式＝2．选a．
3．将关于x的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19+x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20
填。解：f(x)＝a0+a1(x－4)2+a2(x－4)2+…+a20(x－4)20．令x＝5得f(5)＝1－5+52－53+…－519+520＝＝＝a0+a1+…+a20．
4．已知f(x)是定义在(0，+∞上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，则a的取值范围是。
解： a∈(－1，+∞
2a2+a+1＞3a2－4a+1a2－5a＜00＜a＜5．
故所求取值范围为(0，)∪1，5)．
5．设α、β满足0＜α＜2π，若对于任意x∈r，cos(x+α)cos(x+β)cos(x+γ)0，则。
解：由f(x)≡0，得f(－αf(－βf(－γ0：
cos (βcos(γ－cos(β－cos(γ－cos(γ－cos(γ－1．
故cos(β－cos(γ－cos(γ－由于0＜α＜2π，故从而γ－α
6．如图，四面体dabc的体积为，且满足∠acb＝45，ad+bc+＝3，则cd
解：v＝×ac×bcsin45×h≤ac×bc×adsin45．
即ac×bc×adsin45≥1×bc×ad≥1．
而3＝ad+bc+≥3＝3，等号当且仅当。
ad＝bc＝＝1时成立，故ac＝，且ad＝bc＝1，ad⊥面abc．cd＝．
7．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n
解：一位的吉祥数有7，共1个；
二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；
三位的吉祥数为x1+x2+x3＝7的满足x1≥1的非负整数解数，有c＝28个(也可枚举计数)．
一般的，k位的吉祥数为x1+x2+…+xk＝7的满足x1≥1的非负整数解数，令xi＝xi+1(i＝2，3，…，k)，有x1+x2+…+xk＝7+k－1．共有解c＝c组．
4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．
故n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325．
c+c+c+c+c＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：
5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…．
8. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为。
填0.0434．
解：第4次恰好取完所有红球的概率。
二．解答题：（共56分）
9. （本题满分16分）
给定整数n≥2，设m0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点。 试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x，y)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．
证明：因为y2＝nx－1与y＝x的交点为x0＝y0＝．显然有x0＋=n≥2．…(5分)
若(x，y)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点，则k＝x＋．…10分)
记km＝x＋，由于k1＝n是整数，k2＝x＋＝(x0＋)2－2＝n2－2也是整数，且km＋1＝km(x0＋)－km－1＝nkm－km－1，(m≥213.1)
所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，km＝x＋是正整数，且km≥2现在对于任意正整数m，取k＝x＋，满足k≥2，且使得y2＝kx－1与y＝x的交点为(x，y)．…20分)
10.（本题满分20分）
设，求证：当正整数n≥2时，an+1【解答】 由于，因此，于是，对任意的正整数，有。
即．故所求轨迹为 y＝(3x－1)2 (x≠)．
11.（本题满分20分）
15．过抛物线y＝x2上一点a(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点d，交y轴于点b，点c在抛物线上，点e**段ac上，满足＝λ1；点f**段bc上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段cd与ef交于点p，当点c在抛物线上移动时，求点p的轨迹方程．
解：过点a的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点b(0，－1)．ab与x轴交于点d(，0)．设点c坐标为c(x0，y0)，＝点p坐标为(x，y)．
由＝λ1＝1+λ1，同理，＝1+λ2；
而、、成等差数列(过a、b作cd的平行线可证)．
得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝．从而点p为△abc的重心．
x＝，y＝．y0＝x．
解得x0＝3x－1，y0＝3y，代入y0＝x得，y＝(3x－1)2．
由于x0≠1，故x≠．所求轨迹方程为y＝(3x－1)2(x≠)．
又解：过点a的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点b(0，－1)．ab与x轴交于点d(，0)．设点c坐标为c(t，t2)， cd方程为＝，即y＝(2x－1)．
点e、f坐标为e(，)f(，)从而得ef的方程为： ＝
化简得：[(2－λ1)t－(1+λ2)]y＝[(2－λ1)t2－3]x+1+t－λ2t2． ①
当t≠时，直线cd方程为： y
联立①、②解得消去t，得点p的轨迹方程为y＝(3x－1)2．
当t＝时，ef方程为：－y＝(λ2－λ1－3)x+－λ2，cd方程为：x＝，联立解得点，)，此点在上述点p的轨迹上， 因c与a不能重合，故t≠1，x≠．
数学兴趣小组十一
数学兴趣小组十一班级姓名。1 若点a到直线l的距离为7cm，点b到直线l的距离为3cm，则线段ab的长度为 a 10cm b 4cm c 10cm或4cm d 至少4cm 2 如果不等式组的解集是x 2，那么m的取值范围是 a m 2 b m 2 c m 2 d m 2 3 若方程组的解是负数，则的...
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