一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．设全集= （b
a．（—2，1） b． c． d．（1，2）
2、已知且，，则的值是（ ）a
abcd.
3、右图给出的是计算的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是( )a
a．i ＞10b．i <10
c．i ＞20d．i ＞20
4、如图，矩形abcd中，点e为边cd的中点．若在矩形abcd内部随机取一个点q，则点q取自△abe内部的概率等于( )c
a． b． cd．
5、若定义在r上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(d
a．ex－e－xb．
cd． 6．已知空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得该几何体的体积为（ ）c
a． b． c． d．
7. 若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 c
abcd.
8、线性规划5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )d
a．－4b．0cd．4
9、不等边的三个内角所对边分别是a，b，c，且成等差数列，则直线与直线的位置关系是c
a．平行 b．垂直 c．重合 d．相交但不垂直。
10．已知向量，，若与共线，则等于（ ）c
abcd．11. 若函数同时满足下列三条性质：①最小正周期为π；②图象关于直线对称；③在区间上是增函数，则的解析式可以是a
a． b．
c． d．
12. 偶函数满足，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是（ ）c
a. 7b. 8c. 9d. 10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13、若的展开系数中系数是 -84 .
14．如图，直线与曲线所围图形的面积是 。
15. 已知双曲线(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b2
16、将面积为2的长方形abcd沿对角线ac折起，使二面角d-ac-b的大小为，则三棱锥d-abc的外接球的体积的最小值是（ ）
三、解答题：解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，17.（本小题满分10分）
数列{}中，，(是不为0的常数，)，且，，成等比数列。
1） 求数列{}的通项公式；
2） 若=，求数列{}的前n项和tn．
17解。(1)由已知1分。
则得，从而2分。时。4分。
n=1时，也适合上式，因而5分。
26分。则=
错位相减法， …9分。
求得10分。
18．（本小题满分14分）
已知斜三棱柱的底面是直角三角形， ，侧棱与底面所成角为，点在底面上的射影落在上．
1）求证：平面；
（2）若，且当时，求二面角的大小。
18．（本小题满分14分）
解：（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，平面，∴又∵∴，平面。
2）以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，显然，平面的法向量。
设平面的法向量为，
由，即，，
二面角的大小是．
19.(本小题满分12分)某高校在2023年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85),第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
1)分别求第3，4，5组的频率；
2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官d的面试，设第4组中有名学生被考官d面试，求的分布列和数学期望。
19. (本小题满分12分)解：(1) 第三组的频率为0.065=0.3；
第四组的频率为0.045=0.2；
第五组的频率为0.025=0.13分。
(2)(ⅰ设m：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试。
p(m6分。
———10分。
12分。20．（本小题满分12分）
如图，已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，且椭圆的离心率，也是抛物线：的焦点．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，且，点关于轴的对称点为，求直线的方程．
20．解：（ⅰ因为抛物线的焦点是，则，得，则，故椭圆的方程为4分。
ⅱ）显然直线的斜率不存在时不符合题意，可设直线：，设，，由于，则6分。
联立，得，
则将代入①、②得：
由③、④得，10分。
i）若时，即，直线的方程是；
ii）当时，同理可求直线的方程是12分。
21．（本小题满分12分）
已知函数，为正常数．
ⅰ）若，且，求函数的单调增区间；
ⅱ） 若，且对任意，，都有，求的的取值范围．
21．解2分。
∵，令，得，或3分。
∴函数的单调增区间为4分。
5分。设，依题意，在上是减函数．
当时，令，得：对恒成立，设，则，，∴在上是增函数，则当时，有最大值为9分。
当时，令，得：，设，则，∴在上是增函数，，∴综上所述12分。
四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2b铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
22．选修4—1：几何证明选讲。
如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec＝ed．
1)证明：cd∥ab；
2)延长cd到f，延长dc到g，使得ef＝eg，证明：a，b，g，f四点共圆．
22．解：(1)因为ec＝ed，所以∠edc＝∠ecd．
因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以∠edc＝∠eba．
故∠ecd＝∠eba．
所以cd∥ab．
2)由(1)知，ae＝be.
因为ef＝eg，故∠efd＝∠egc，从而∠fed＝∠gec．
连结af，bg，则△efa≌△egb，故∠fae＝∠gbe.
又cd∥ab，∠edc＝∠ecd，所以∠fab＝∠gba．
所以∠afg＋∠gba＝180°.
故a，b，g，f四点共圆．
23．选修4—4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于．
（ⅰ）写出曲线和直线的普通方程； （若成等比数列，求的值．
23．选修4—4：坐标系与参数方程。
解5分。ⅱ）直线的参数方程为（为参数）,代入得到，
则有8分。因为，所以解得10分。
24.已知函数f(x)＝｜2x－a｜＋a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为，求实数a的值；
2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围．
数学寒假作业 理科
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