1.1解
1）用图1-1中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数，即是斜率为的一族平行线，易知为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线沿其法线方向逐渐向上平移，直至a点，a点坐标为。
所以 此线性规划问题有唯一最优解。
2）用图1-2中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数，即是斜率为的一族平行线，易知为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。将直线沿其法线方向逐渐向下平移，直至b点，b点坐标为。
所以 此线性规划问题有唯一最优解。
3）用图1-3中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数，即是斜率为的一族平行线，易知为可行解。在将直线沿其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：目标函数的值可以增加到无穷大，故此线性规划问题为无界解。
4）如图1-4所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。
1.4 (2)解法一：**法。
图中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数，即。
是斜率为的一族平行线，易知为可行解，将直线沿其法线方向逐渐向上平移，直至b点，b点坐标为（2，6）。
所以 解法2：单纯形法。
将上述问题化为标准型如下：
下面用单纯形法进行计算，见下表：
表的最终结果表明：
最优解 目标函数最优值
迭代第一步得表示图中原点。
迭代第一步得表示图中a点。
迭代第一步得表示图中b点。
解法一：大m法。
将上述问题化为标准型，并加入人工变量，得。
其中，m是一个任意大的正数。
对于此线性规划问题，用单纯形表进行计算，见下表。
由上表可得，此线性规划问题的最优解。
目标函数最优值
此线性规划问题有唯一最优解。
解法二：两阶段法。
第一阶段的数学模型为。
对于此线性规划问题，用单纯形表进行计算，见下表。
由上可得第一阶段的最优解。
为原线性规划问题的基本可行解。
目标函数的最优值
第二阶段单纯形表如下。
由上表可得原线性规划问题的最优解。
目标函数的最优值
此线性规划问题具有唯一最优解。
解（2）解法一：大m法。令 则
将上述问题转化为标准型，并加入人工变量，得。
其中，m是一个任意大的正数。
对于此线性规划问题，用单纯形表进行计算，见下表。
由上表可得原线性规划问题的最优解。
目标函数的最优值
因为非基变量的检验数。所以此线性规划问题有无穷多最优解。
解法二：两阶段法。
第一阶段的数学模型为。
对于此线性规划问题，用单纯形表进行计算，见表1-11.
表1-11由表1-11可得：第一阶段的最优解。
为原线性规划问题的基本可行解。
目标函数的最优值。
第二阶段的单纯形表见表1-12.
表1-12由表1-12可得：原线性规划问题的最优解。
目标函数的最优值
因为非基变量的检验数所以此线性规划问题存在无穷多最优解。
1.8解（1）当解为唯一最优解时，必有。
2）当解为最优解，但存在无穷多最优解时，必有。
或。3）当该问题为无界解时，必有。
4）当解为非最优，为对解进行改进，当换入变量为，换出变量为，必有。
2.2解表2-4中的数字填写如下。
2.3解（1）整理的原问题的对偶问题为。
2）整理的原问题的对偶问题为。
3）整理的原问题的对偶问题为。
无约束。4）整理的原问题的对偶问题为。
无约束。2.4解（1）错误。原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解也可能不存在可行解。
2）错误。线性规划的对偶问题无可行解。则原问题可能无可行解也可能为无界解。
3）错误。线性规划问题的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题可能有有限最优解也可能为无界解。
2.6解（1）
2.7解该问题的对偶问题为
由互补松弛性：若，分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当与为最优解。
设为原问题的最优解。
其中为原问题约束条件的松弛变量，而。
为对偶问题的最优解。
其中，为与条件（1）（2）（3）（4）相对应的松弛变量。
所以。因为。所以条件（3）（4）为等式，故。条件（1）（2）为不等式，故。
由，即。得。因为。由。
即。得。
即原问题的约束条件应取等号。
所以。解得。
所以原问题的最优解为
目标函数最优值。
2.9解将原问题化为标准型得。
对于此线性规划问题，用单纯形法进行求解，见表2-9.
表 2-9
由表2-9可得原线性规划问题的最优解为。
目标函数的最优值
因为非基向量的检验数，所以原线性规划问题有无穷多最优解。
1）约束条件（1）的右端常数由20变为30，则。
所以。在表2-9的基础上，列出单纯形表，对于此问题，由于检验数均为非正。而初始解为非可行解，所以用对偶单纯形法进行求解，见表2-10.
表 2-10
由表2-10可得，线性规划的最优解发生了变化，其最优解为。
目标函数的最优值
2)约束条件（2）的右端常数由90变为70，则。
所以。在表2-9的基础上，列出单纯形表，对于此问题，由于检验数均为非正，而初始解为非可行解，所以用对偶单纯形法进行求解，见表2-11.
表 2-11
由表2-11可得，线性规划的最优解发生了变化，其最优解为。
目标函数的最优值
3）目标函数中的系数由13变为8
由表2-9可知：为非基向量，此时其检验数。
所以线性规划问题的最优解不变。
4）的系数列向量由变为。
由表2-9知：为非基向量，此时检验系数。
所以线性规划问题的最优解不变。
5）增加一个约束条件（3）
在（3）式加入松弛变量，得。
在表2-9的基础上加入上述约束条件后用对偶单纯形表进行求解，见表2-12
表2-12由表2-12可得，线性规划的最优解发生了变化，其最优解为。
目标函数的最优值
6）将约束条件（2）改为。
并未发生变化。
所以并未发生变化。
故线性规划问题的最优解不发生变化。
2.10解。
1）设产品ⅰ，ⅱ的产量分别为，由题目所给的数据，可以得到以下的数据模型：
将上述问题转化为标准型，得。
对于此线性问题，用单纯形法求解，见表2-14
表2-14由表2-14可得原线性规划问题的最优解。
目标函数的最优值。
2) 由表2-10可知，设备b的影子**为（千元/台时），而借用设备的租金为（千元/台时）（千元/台时）.
所以借用设备b不合算。
3) 设ⅳ和ⅴ生产的产量分别为，其系数列向量分别为。
则其各自在最终单纯形表对应的列向量分别为。
其检验数为。
所以生产产品ⅳ不合算。
其检验数为。
所以生产产品ⅴ合算。
在表2-14的基础上加入一列列出初始单纯形表，用单纯形法进行迭代，见表2-15.表2-15
由表2-15可得线性规划问题的最优解。
目标函数的最优值。
4) 改进后。
此时其检验数为。
所以改进技术后能够带来更多的经济效益。
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