作业名称：创建带有数学公式的文档。
一、概要说明：
1. 文章名称：二重积分应用举例。
**：《高等数学》
字数：。2. 完成作业的主要操作过程：
1) 录入文本；
2) 输入特殊符号和公式；
3) 修改和编辑文档；
4) 为文档设置格式。
二、编辑后的文章输出如下：
二重积分应用举例。
一、 体积：
我们在本章第一节中已经知道，若在有界闭区域d上连续，且，则二重积分在几何上解释为以为顶的曲顶柱体的体积，所以我们可以利用二重积分计算立体的体积。
例1 求两个底圆半径相等的直交圆柱所围立体的体积。
解：设圆柱底圆半径为r，两个圆柱面方程分别为。由立体对坐标面的对称性，所求体积是它位于第一卦限那部分的体积的8倍。立体在第一卦限部分的积分区域为，它曲顶为，于是。
二、 曲面的面积：
在第六章讨论定积分的应用时，将许多总量的问题归结为用定积分的元素法来建立所求量u的定积分表达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中。设所求量u对区域d具有可加性，且在区域d中任取一个小区域时，相应的部分量可以近似地表示为，称为所求量u的积分元素，记为，即。以它作为被积表达式，在有界闭区域d上，积分就是所求量的积分表达式。
三、 质量与重心：
由力学知道，n个质点系的重心坐标为其中为第i个质点的质量，分别是质点系对x轴和y轴的静力矩，是质点系的总质量。
同理，相应于的部分薄片对x轴和y轴的静力矩近似等于和，即，，于是，平面薄片对x轴和y轴的静力矩为，所以，平面薄片重心的坐标为。设曲线c是闭曲线，即b与a点重合，这时记作。由定义可知，前面曲顶柱体的侧面面积a等于函数对弧长的积分。
例1 证明级数是发散的。
证级数的通项。部分和，，所以级数是发散的。
例2 。解 ，随n增大而减少，故。又，故由莱布尼茨准则知，级数收敛。又当时，与x为等价无穷小，所以根据极限审敛法知。级数发散。
作业设计三
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