2024年月日星期。
学号姓名。一、填空题：
1. 设l为直线，α，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
a．若l∥α，l∥β，则α∥βb．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
c．若l⊥α，l∥β，则α∥βd．若α⊥βl∥α，则l⊥β
2. 如图，在△abc中，∠bac＝90°，pa⊥面abc，ab＝ac，d是bc的中点，则图中直角三角形的个数是( )
a．5 b．8c．10 d．6
3．如图，正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点 e，f，且ef＝，则下列结论错误的是( )
a．ac⊥be
b．ef∥平面abcd
c．三棱锥a—bef的体积为定值。
d．△aef的面积与△bef的面积相等。
二、解答题。
4.已知正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1m＝an＝a，如图．
1)求证：mn∥面bb1c1c；
2)求mn的长．
5.如图，dc⊥平面abc，eb∥dc，ac＝bc＝eb＝2dc＝2，∠acb＝120°，p，q分别为ae，ab的中点．
1)证明：pq∥平面acd；
2)求ad与平面abe所成角的正弦值．
数学拓展与链接（12）参***。
一、 bbd
二：4. 解 (1)证明：作np⊥ab于p，连接。
＝＝，mp∥aa1∥bb1，面mpn∥面bb1c1c. mn面mpn，mn∥面bb1c1c.
2)＝＝np＝a，同理mp＝a. 又mp∥bb1，mp⊥面abcd，mp⊥pn.
在rt△mpn中mn＝＝a.
5. 解 (1)证明：因为p，q分别为ae，ab的中点，所以pq∥eb.又dc∥eb，因此pq∥dc，又pq平面acd，从而pq∥平面acd.
2)如图，连接cq，dp，因为q为ab的中点，且ac＝bc，所以cq⊥ab.
因为dc⊥平面abc，eb∥dc，所以eb⊥平面abc，因此cq⊥eb.
故cq⊥平面abe.
由(1)有pq∥dc，又pq＝eb＝dc，所以四边形cqpd为平行四边形，故dp∥cq.
因此dp⊥平面abe，∠dap为ad和平面abe所成的角，在rt△dpa中，ad＝，dp＝1，sin∠dap＝，因此ad和平面abe所成角的正弦值为。
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