江苏省怀仁中学寒假作业五（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1.已知，则的虚部是。
2.已知，则的最小值是
3.已知，则
4.已知双曲线：的焦距是10，点p（3,4）在的渐近线上，则双曲线的标准方程是。
5.在直角坐标系中，不等式组表示平面区域面积是4，则常数的值___
6.函数的图象在点处的切线方程是。
7.已知，，则的最大值是
8.数列的前项和为，且，利用归纳推理，猜想的通项公式为
9.已知在上是增函数，则的取值范围是。
10.设等差数列的前项和为，则，，成等差数列；
类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ，成等比数列．
11.函数在上有极值，则的取值范围是
12.已知椭圆和圆，若上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为，满足，则椭圆的离心率取值范围是
13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为左右顶点，焦距为2，左准线与轴的交点为，∶=6∶1．若点在直线上运动，且离心率，则的最大值为 ．
14.已知函数，设，且函数的零点均在区间（，，z）内，圆的面积的最小值是___
二、解答题（本大题共6小题，计90分。）
15. （本题满分14分）已知在区间[0,1]上是减函数，在区间上是增函数，又。
ⅰ)求的解析式； (若在区间恒成立，求的取值范围。
16. 如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形，平面abc⊥平面aa1c1c,ab=3,bc=5.
ⅰ)求证：aa1⊥平面abc;
ⅱ)求二面角a1-bc1-b1的余弦值；
ⅲ)证明：**段bc1存在点d,使得ad⊥a1b,并求的值。
17. (本题满分14分) 设数列的前项和为，且方程有一根为。
1)求；2)猜想数列的通项公式，并给出证明．
18. （本题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的上顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点。
1）求椭圆的标准方程；
2）求的最小值，并求此时圆的方程；
3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值。
19. （本题满分16分）在**网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售**（单位：
元/千克，）满足：当时，，；当时，．已知当销售**为元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售**为元/千克时，每日可售出150千克．
1）求的值，并确定关于的函数解析式；
2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售**的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大（精确到0.1元/千克）．
20. （本题满分16分）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记（，）
1）求使满足对任意实数，都有的最小整数的值（，）
2）设函数，若对，，都存在极值点，求证：点（，）在一定直线上，并求出该直线方程；
注：若函数在处取得极值，则称为函数的极值点。）
3）是否存在正整数和实数，使且对于，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
高二数学12月随堂测试答案。
10. 11. 12. 解：
13. 解：,14. 解：，，
15. 解：（ⅰ由已知，即解得，．
16. (因为aa1c1c为正方形，所以aa1 ⊥ac.
因为平面abc⊥平面aa1c1c,且aa1垂直于这两个平面的交线ac,所以aa1⊥平面abc.
)由()知aa1 ⊥ac,aa1 ⊥ab. 由题知ab=3,bc=5,ac=4,所以ab⊥ac. 如图，以a为原点建立空间直角坐标系a-,则b(0,3,0),a1(0,0,4),b1(0,3,4),c1(4,0,4),
设平面a1bc1的法向量为，则，即，
令，则，所以。
同理可得，平面bb1c1的法向量为，所以。 由题知二面角a1-bc1-b1为锐角，所以二面角a1-bc1-b1的余弦值为。
)设d是直线bc1上一点，且。 所以。解得，.
所以。 由，即。解得。
因为，所以**段bc1上存在点d,
使得ad⊥a1b.
此时，. 17.【解】 (1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为s1－1＝a1－1，(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得=a1＝，当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为s2－1，又s2－1＝a1＋a2－1＝a2－，(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.
2)由题意知(sn－1)2－an(sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝sn－sn－1，代入上式整理得。
snsn－1－2sn＋1＝0，解得sn＝.
由(1)得s1＝a1＝，s2＝a1＋a2＝＋＝
猜想sn＝(n∈n*)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
当n＝1时，结论成立．
假设n＝k(k∈n*，k≥1)时结论成立，即sk＝.
当n＝k＋1时，sk＋1＝＝＝
即当n＝k＋1时结论成立．
由①②知sn＝对任意的正整数n都成立．
18. 解：（1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600,又∵x=3时y=150，∴b=300
∴y关于x的函数解析式为：
2）由题意：，当，时有最大值。
当时，时有最大值630
当时有最大值。
即当销售**为1．7元的值，使店铺所获利润最大。
19. 解：（1）
2）,时，最小值是，，
令，，同理，又，
20.解：（1
存在极值点 ②
在直线上。3）无解。
当时， 而当时，单调减，且。
在上增，上减，恒成立。
单调减，而。
在上在上增，上减，，又。
在上单调递减。
综上所述，存在，满足条件。
当时，，即或2
当时（舍）当时。
单调减，且时，
在上增，上减，而。
使得在上，，在上，在上，
在上减，在上增，在上减（舍）
综上所述：存在，满足条件。
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