5.1.2 垂线(二)
典型例题。例1】 (山东)如图5-29，107国道a上有一出口m，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工？
图5-29图5-30
解析】 由垂线段最短知，可过点m作b的垂线，垂足为n，则mn即为所求。
答案】 如图5-30，过点m作mn⊥b，垂足为n，欲使通道最短应沿线路mn施工。
例2】 如图5-31，ad⊥bc于点d，de⊥ac于点e，df⊥ab于点f，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确？
图5-31小明说：bd、dc、ad分别表示点a到bc、点d到ac、ab的距离。
小颖说：da、de、df分别表示点a到bc、点d到ac、ab的距离。
小涵说：da、de、df的长度分别表示点a到bc，点d到ac、ab的距离。
解析】 要判断三人说法是否正确，深刻理解点到直线的距离的含义是解题的关键。
线段bd、dc的长度是点d分别到点b、c的距离，是两点间的距离，ad的长才是点a到bc的距离，因此小明的说法是错误的。da、de、df指的是垂线段，是几何图形。而不是距离，因此小颖的说法是错误的。
根据点到直线的距离的概念，小涵的说法是正确的。
答案】 小涵的说法是正确的。
例3】 如图5-32，在河岸l的同侧有一村庄a和自来水厂b.现要在河岸l上建立一抽水站d，将河中的水输送到自来水厂后，再送往a村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短。问抽水站d应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管？
在图中画出来。
图5-32解析】 要使水管最短，则抽水站与自来水厂间的路程应最短，自来水厂与a村的路程应最短。需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理。
答案】 如图5-32所示，过点b画l的垂线，则垂足d为抽水站的位置。连接ab.沿d-b-a的路线铺设水管，可使所用的水管最短。
课前热身。1.直线外___与直线上各点连接的所有线段中，垂线段___
2.定点p在直线外，动点o在直线ab上运动，当线段po最短时，∠poa=__度。这时，点p到直线ab的距离是线段___的长度。
课上作业。3.如图5-33，计划把池中的水引到c处，可过点c作cd⊥ab于d，然后沿cd开渠，可使所开的渠道最短。这种设计的依据是___
4.如图5-34，od⊥bc，垂足为d，bd=6 cm，od=8 cm，ob=10 cm，那么点b到od的距离是___点o到bc的距离是___o、b两点之间的距离是___
图5-33图5-34图5-35
5.如图5-35，在△abc中，ac⊥bc，cd⊥ab，则ab、ac、cd之间的大小关系是___用“＜”号连接起来).
6.直线l上有a、b、c三点，直线l外有点p，若pa=5 cm，pb=3 cm，pc=2 cm,那么点p到直线l的距离___
课下作业。一、填空题(每题5分，共50分)
7.如图5-36，点p是直线l外一点，过点p画直线pa、pb、pc、…交l于点a、b、c、…，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量pa，pb，pc的长度。你发现的规律是。
图5-36图5-37图5-38
8.如图5-37，已知直线ad、be、cf相交于o，og⊥ad，且∠boc=35°，∠fog=30°，则∠doe
9.如图5-38，o为直线ab上一点，∠boc=3∠aoc，oc平分∠aod.则∠aocod与ab的位置关系是。
10.将一张长方形的白纸，按如图5-39所示的折叠，使d到d′，e到e′处，并且bd′与be′在同一条直线上，那么ab与bc的位置关系是。
图5-39图5-40图5-41
二、选择题(每题5分，共10分)
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点p是o外一点(如图5-40)，则点p与o的距离应定义为( )
a.线段po的长度 b.线段pa的长度 c.线段pb的长度 d.线段pc的长度。
12.在图5-41所示的长方体中，和平面ac垂直的棱有( )
a.2条 b.4条c.6条 d.8条。
三、解答题(每题20分，共40分)
13.如图5-42，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α试求∠α，的度数。
图5-4214.一辆汽车在直线形的公路上由a向b行驶，m、n分别是位于公路ab两侧的两个学校，如图5-43.
1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来；
2)当汽车从a向b行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对m学校影响逐渐减小而对n学校影响逐渐增大？
图5-43参***。
课上作业。3.如图5-33，计划把池中的水引到c处，可过点c作cd⊥ab于d，然后沿cd开渠，可使所开的渠道最短。这种设计的依据是___
答案：垂线段最短。
4.如图5-34，od⊥bc，垂足为d，bd=6 cm，od=8 cm，ob=10 cm，那么点b到od的距离是___点o到bc的距离是___o、b两点之间的距离是___
图5-33图5-34
答案：6 cm；8 cm；10 cm
5.如图5-35，在△abc中，ac⊥bc，cd⊥ab，则ab、ac、cd之间的大小关系是___用“＜”号连接起来).
图5-35答案：cd＜ac＜ab
6.直线l上有a、b、c三点，直线l外有点p，若pa=5 cm，pb=3 cm，pc=2 cm,那么点p到直线l的距离___
答案：小于或等于2cm
课下作业。一、填空题(每题5分，共50分)
7.如图5-36，点p是直线l外一点，过点p画直线pa、pb、pc、…交l于点a、b、c、…，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量pa，pb，pc的长度。你发现的规律是。
图5-36答案：角度越大，线段长度越小。
8.如图5-37，已知直线ad、be、cf相交于o，og⊥ad，且∠boc=35°，∠fog=30°，则∠doe
图5-37图5-38
答案：25°
9.如图5-38，o为直线ab上一点，∠boc=3∠aoc，oc平分∠aod.则∠aocod与ab的位置关系是。
答案：45°；od⊥ab
10.将一张长方形的白纸，按如图5-39所示的折叠，使d到d′，e到e′处，并且bd′与be′在同一条直线上，那么ab与bc的位置关系是。
图5-39答案：垂直。
二、选择题(每题5分，共10分)
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点p是o外一点(如图5-40)，则点p与o的距离应定义为( )
图5-40a.线段po的长度 b.线段pa的长度 c.线段pb的长度 d.线段pc的长度。
答案：b12.在图5-41所示的长方体中，和平面ac垂直的棱有( )
a.2条 b.4条c.6条 d.8条。
图5-41答案：b
三、解答题(每题20分，共40分)
13.如图5-42，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α试求∠α，的度数。
图5-42答案：75°；105°
14.一辆汽车在直线形的公路上由a向b行驶，m、n分别是位于公路ab两侧的两个学校，如图5-43.
1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来；
2)当汽车从a向b行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对m学校影响逐渐减小而对n学校影响逐渐增大？
图5-43答案：(1)作mc⊥ab于c，nd⊥ab于d，所以在c处对m学校的影响最大，在d处对n学校影响最大；(2)由a向c行驶时，对两学校影响逐渐增大；由d向b行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由c向d行驶时，对m学校的影响减小，对n学校的影响增大。
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