数学实验。
综合实验报告。
实验名称关于二阶常微分方程求解在实际中的应用。
学院。专业班级。
小组成员 学号。
组长。2023年6月。
一、 【问题描述】
在生活中许多物理现象都可以抽象为用二阶微分方程描述。作为通信工程专业的学生我们在学习信号与系统和大学物理的时候就会遇到二阶信号系统和单摆的运动，这两个物理都是二阶系统，并且它们都能够用二阶微分方程来描述，这便给matlab提供了用武之地。我们希望给二阶系统一个输入，能便捷的得到系统的输出。
二、 【理论分析与建模】
1）下图为典型的二阶系统的电路图。
对于这个系统，电源输入电压设为x（t），电容两端电压为输出电压为y（t），则根据电路系统可得两者之间的关系为。
其中，系统参数为l=1000h，r=500ω，c=1mf。
带入参数后可将方程化简为如下形式：
从方程式可知该系统是一个二阶系统，我们想求出输入为x(t)=sin2t时的输出y(t)，则方程可进一步化为。
其中起始时间：t0=0；终止时间：tf=10π；
初始条件：这样我们可以通过求解二阶微分方程的方法求解出输出y(t)。
2）下图为典型的单摆图。
小球在平常状态下由于重力作用处于竖直平衡位置。让小球偏离平衡位置一个小角度θ，小球沿圆弧摆动，不计空气阻力小球做周期一定的简谐振动。而小球到达最低点的速度和小球离开平衡位置的θ有关。
我们想在要求小球到达最低点速度一定的情况下求出应该在初始时刻小球偏离的角度θ的大小。
设小球质量为m，绳长为l，根据运动规律有。
而在θ比较小角度的情况下，所以原式可化为。
在式中取l=2.5m，g=10。
这样可以得到与时间t的关系，其中=ω，及角速度。
用乘以l就得到小球摆动时的线速度v（t），从图像中可以得出最低点速度。
用同样的方法做出初始θ分别为°的v(t)图像，分别记录下各个角度时的最低点速度。
将各个最低点速度拟合，即可从图中读出最低点速度为1.5m/s时的初始角度θ。
三、 【计算方法】
数学计算公式如“二、理论分析与建模”中给出公式，结合matlab的常微分方程解法来求解待求量。
四、 【实验程序】
1）二阶电路系统的输出。
主程序：t0=0;
tf=15*pi;
x0t=[0;1];
t,x]=ode23('exf',[t0,tf],x0t);
y=x(:,1);
plot(t,y,'m-')
函数文件：functionxdot=exf(t,x)
u=sin(2*t);
xdot=[0,1;-1,-0.5]*x+[0;1]*u;
end2）单摆的运动。
1）以初始角度θ=30°时的v(t)图像为例。
主程序：t0=0;
tf=1;x0t=[0.5236;0];
t,x]=ode23('exf1',[t0,tf],x0t);
y=x(:,2);
plot(t,y*2.5,'m-')
grid on
函数文件：functionxdot=exf1(t,x)
xdot=[0,1;-4,0]*x;
end2）拟合图像。
x=[pi/36,pi/18,pi/12,pi/9,5*pi/36,pi/6];
y=[0.4348,0.8716,1.3084,1.7442,2.1804,2.6153];
p7=polyfit(x,y,7);
disp('七阶拟合'),f7=poly2str(p7,'x');
x1=0:pi/50:pi/6;
y7=polyval(p7,x1);
plot(x,y,'rp',x1,y7,'b-')
grid on
五、 【实验结果】
拟合图像为。
放大后从图中得到结果θ=0.3002rad
六、 【结果分析】
matlab能够帮助我们画出准确的函数图像，这些函数图像平时难以用人工画出，利用图像我们可以解决多种问题。比如上面求出y（t）的电压随时间的变化，以及求角度的问题。
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