作业题答案。
1． 计算极限。
解：利用，得。
2． 设，求。
解：，所以 .
3． 设，其中具有一阶连续偏导数，求。
解：，.4． 设，求。
解：方程组中两个方程分别对求导，得，所以 ，5． 设，求证：.
解：将y和z视为常量，对x求导，得 ；
将x和z视为常量，对y求导，得 ；
将x和y视为常量，对z求导，得 ，从而。
6． 已知函数由方程确定，求。
解：方程两边对求导，得。
上式两边对求导，得。
又 ，所以。
7． 求圆周曲线在点处的切线和法平面方程。
解：方程两边对求导，并移项得： ，
从而可取切向量，故所求切线方程为：,法平面方程为： 即。
8． 证明曲面上任意一点的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数。
解：令，则，故在曲面上任一点处切平面方程为：
上式中令得切平面在轴上截距为：
由曲面方程对称性可知切平面在轴上截距分别为：
因此，.9． 如果函数在点处的从点到点方向导数为2，从点到点方向导数为，求：
该函数在点处梯度；
点处的从点到点方向的方向导数。
解：已知： ，
10. 一厂商通过电视和报纸两种方式做销售某种产品的广告。据统计资料，销售收入（万元）与电视广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：
试在广告费用不限的前提下，求最优广告策略。
提示：所谓最优广告策略是指，如何分配两种不同传媒方式的广告费用，使产品的销售利润达到最大。）
解：设利润函数为，则。
由。解得唯一驻点（0.75，1.
25）,根据实际意义知，利润一定有最大值，且在定义域内有唯一的驻点，因此可以断定，该点就是利润的最大值点。因此当（万元），（万元）时，厂商获得最大利润（万元）。
练习题答案。
1. 设，求。
解：令，，则。
所以 .2. 设，其中f 可导，求。
解：.3. 已知，而是由方程确定的x，y的函数，求。
解：将两个方程对x求导数，得。
解方程可得。
1） 在处是否连续？
2） 是否存在？
3） 偏导数在处是否连续？
4） 在处是否可微？
解：（1）函数在处是否连续，只要看是否成立。因为。
所以在处连续。
（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求。
因为。所以 ，类似地可求得。
(3) 当时。
因为不存在，所以在处不连续。同理在处也不连续。
（4）由于在处不连续，所以只能按定义判别在处是否可微。
由，，故。由全微分定义知在处可微，且。
5. 求曲面平行于平面的切平面方程。
解：曲面在点的法向量为 n ＝，已知平面的法向量为n＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n,从而有。
又因为点在曲面上，应满足曲面方程。
由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及，所求切平面方程为：
或。6. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。
解：因为e, 所以
由题意，要考查函数在条件下的最大值，为此构造拉格朗日函数。
令。解得可能取极值的点为及。
因为所要求的最大值一定存在，比较，知为所求的点。
7. 求由方程确定的函数的极值。
解：法1：将方程分别对求偏导，并联立方程组。
由函数取极值的必要条件为：
将代入得： 为驻点。
将的两个方程分别对求偏导得：， 取极值。
将代入原方程得：.
把代入：， 为极小值。
把代入：， 为极大值。
法2：配方法：原方程可变形为：
显然，当时，根号中的极大值为4，由此可知为极值， 为极大值，为极小值。
8. 某城市的大气污染指数取决于两个因素，即空气中固体废物的数量和空气中有害气体的数量。它们之间的关系可表示成。
（1）计算和，并说明它们的实际意义；
2）当增长10%，不变或不变，增长10%，该城市的空气污染的情况怎样？
3）当增长10%，减少10%，该城市的空气污染是否有所改善？
解： （1）由，得。
根据偏导数定义，表示当空气中有害气体且固定不变，对（当时）的变化率，也就是说是常量，是变量，且自10发生一个单位的改变时，大气污染指数大约改变个单位。
同理，表示当空气中固体废物不改变时，对（当时）的变化率，或者说，当不变，自5发生一个单位的改变时，大气污染指数p大约改变个单位。
2) 显然在点处连续，根据增量公式，有，其中。
当，增长10%时， 1010%=1,，则有。
当，， 510%=0.5时，有。
由此可见，当自变量，在点处一个保持不变，另一个增加10%时，引起大气污染的程度是不同的，有害气体对大气污染的程度较严重。
（3）由于，，增长10％，即；减少10％，即，此时大气污染指数的增量为。
即大气污染得到一定的治理，空气状况有所改变。
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