《数学实验》报告。
实验名称在研究物体振动方面的应用
学院。专业班级。
姓名。学号。
2023年 1月。
一、 【实验目的】
物体振动这样一个看似简单但又包含着很多复杂计算的运动中，在人为的计算时是很难精确的实现，而通过可以处理诸多科学中的许多问题，利用它来研究物理学中的机械振动，不仅特别方便还非常有效。
二、 【实验任务】
本列举振动的一些实例，用语言编制计算机程序进行**以达到研究简谐振动以及振动的合成，振动的计算以及受迫振动。
三、 【实验程序】
一）简谐振动介绍。
最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成．
1．特点。质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为。
式中为正的常数．对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数。
2．运动的微分方程及其解。
根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成。即。
式中。如下面的（3）和（4）所示，是简谐振动的圆频率。
微分方程（2）的解是。
或。式（7.3）也可以表为复数形式。
但要约定取其实数部分．
利用三角公式，很容易导出a，和b，c之间的关系。
即（6）3．速度和加速度。
作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，7）
式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐．
4．圆频率、周期和频率之间的关系，（9），三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率．
5．振幅和初周相。
3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：“，代入（3）和（7），得。
解得。求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，，三个值．其中和由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，而根据（7.10）或（7.
11）求出和值．至于（或或），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，，完全由弹簧劲度系数和物体质量所决定．弹簧的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就大。而物体的质量m大，就小．
6．简谐振动系统的能量。
作简谐振动的质点动能为。
振动系统弹性势能为。
因此系统总机械能为。
系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能e与振动的振幅平方a2，振动的圆频率平方成正比．
动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是。
注意和在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，16）
7.振动的合成。
一个质点同时参与两个振动方向相同、频率相同的简谐振动，合振动仍为简谐振动。
利用振幅矢量图示法容易求得。
二个振动方向相同、频率略有差异的简谐振动，其合振动不为简谐振动，产生“拍”现象．拍频为，为两分振动频率）．（19）
二个振动方向互相垂直的简谐振动合成：
1）若二振动频率相同，合振动轨迹一般为一椭圆。
2）若二振动频率成整数比，合振动轨迹为规则的稳定的闭合曲线，称利萨如图．但若不成整数比，轨迹为不闭合的复杂曲线。
二）实际运用。
例1.关于物体振动的计算的应用。
质量为1的物体，以振动1x10^-4m作简谐运动，其最大加速度为4.0.求：（1）震动的周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等；
=aω^'altimg': w': 95', h': 25
}}'altimg': w': 89', h': 58'}]
', altimg': w': 56', h': 43'}]
通过平衡位置时的速度最大，所以得：
}=\fracmv_^=fracmω^×a^',altimg': w': 242', h': 43
}',altimg': w': 71', h': 25
当[',altimg': w': 49', h': 24'}]时，可得x的位置。
即： [frac}}'altimg': w': 79', h': 46
程序如下：1为物体的质量。
4.0为最大加速度。
1.0*10^-4为振幅。
求角速度。2求周期。
1/2*m*w*w*a*a; %求最大动能。
求总能量。1/2*e求势能。
2求动能和势能相等时的位移。
例2 振**。
以质量为0.01的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在0.04m处，向轴负方向运动，试求：画出此时刻的0到8的振**形。
解t': latex', orirawdata': x=acos(ωt+y)',altimg': w': 146', h': 21
0.08m4s
', altimg': w': 59', h': 43
0时，0.04；
得 0.04=0.08
程序： 0200:8*;
结果如下图：
例3：阻尼振动。
有一单摆在空气（室温为20℃）中来回摆动，其摆线长1.0m，摆锤是一半径[m', altimg': w':
107', h': 25'}]的铅球，求：（1）摆动周期；（2）振幅减小10%所需的时间；（已知铅球密度为[kgm^',altimg':
w': 187', h': 25'}]20℃时空气的粘滞阻力[pas', altimg':
w': 171', h': 25'}]
解：[=sqrt}',altimg': w':
73', h': 54'}]粘滞阻力为： [6πrnv=c_',altimg':
w': 159', h': 23
得6[',altimg': w': 59', h': 43
}',altimg': w': 56', h': 46
有阻尼的情况下，单摆的振幅：
=ae^t_',altimg': w': 90', h': 24
=0.9a', altimg': w': 83', h': 23
得：[=frac)}'altimg': w': 109', h': 66
程序如下：'输入g的值');为重力加速度其值为。
'输入l的值为摆线长。
'输入p的值');为铅球密度。
'输入n的值20℃时空气的粘滞阻力。
'输入r的值为小球的半径。
求角速度。6**r*n由粘滞阻力6
4/3**r^3*p求小球的质量。
2求阻尼系数。
2求单摆周期。
t1(1/0.9振幅减小10%所需的时间。tt1
输入g的值0.98
输入l的值1.0
输入p的值2.65*10^-3
输入n的值1.78*10^-5
输入r的值5.0*10^-3
例4：相互垂直的简谐振动的合成
程序：1:0.001:15
a1('振幅1=')1('频率1=')1('初相位1=')
a2('振幅2=')2('频率2=')2('初相位2=')
1*(w1*1);
2*(w2*2);
2,2,1)()x轴上谐振1')
2,2,4)()y轴上谐振2')
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