专业实习大作业。
学号：班级：
姓名：指导老师：彭晓明。
2023年4月。
金融数学。题目1：试选择三支风险**，、、利用平面上的数据对组合做出最优切点组合。 [允许做空]
理论推导：设3种风险**，、、他们的期望收益率记。
方差-协方差矩阵，其中是方差，.
又设是**、、的一个组合，则这一组合的期望收益率和风险具体为：
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：
构造拉格朗日函数：
所以根据一阶条件：
由于v为正定阵，v的逆矩阵存在。
对于另一个指定的，在，在前沿上的**组合为：
两个**组合的协方差为：
令，则得前沿上得**组合方差为：
解得，，，亦即n点的坐标是(, n点的风险最小，风险是。
实例分析：由上表数据可以得到三个风险**的期望收益率和风险，我们假设无风险**的期望收益率为2023年银行存款定期基准利率，如下表所示：
由公式得：带入具体数据：
解得：（“表示做空）
切点组合为：
题目2：选择一支风险**，利用统计学方法在非平衡态下对和给出估计值，并阐述和的实际应用含义。
理论推导：1)取和的n组观察值作为样本：，；再由样本做出：
2)根据最小二乘法，求出和的估计值和，如下：我们记。
那么和的估计值和是：
亦即。实例分析：
由上述资料可以求得中信**的周收益率和上证指数的周收益率以及，其中 (这里的以我国当前银行三个月期存款年利率10%折算为周利率所得)。
从而可以求得。
均值为：方差和协方差为：
最后得到：计算结果表示中信**的系数为，具有较大的市场风险。系数为，表明****较偏低。
相关系数，说明**超额收益率与市场超额收益率之间呈现比较强的的正相关性。确定系数和不确定系数，说明**超额收益率的变化中约57.9%可以用市场超额收益率的变化来解释。
题目3:试选择三支风险**、、，对平均组合p=()利用套利apt模型做出套利组合， ,并计算的利差。
理论推导：在apt下，假设收益率和关于因素f的敏感度，且、、需要满足三个套利原理：
1），即投资者投资总额不变，既没有增加投资的总资金，也没有从原有投资总额中抽回部分资金。
2），这表示改变后的组合q的因素风险不变，它与组合p的因素风险相同。
3），这表示由于这一改变会增加收益率，或者说改变后的组合q期望收益率高于原来的期望收益率。
求解以上的其次方程组，解出、、，再回代得到新组合q的期望收益率。
实例分析：统计出近十年的上证指数变化如下表：
上证股指可以反应市场收益率。
贝塔系数可以显示我们**收益对系统性风险的反应有多大。
可以利用公式，计算出贝塔系数。
得到，以上三支风险债券均为的组合不一定是最优组合。
利用套利apt模型做出套利组合：
表示投资额不变。
表示投资组合改变后，风险因素不变。
表示这一组合会增加收益率。
由上述得到方程。
解得。从中可以得到，若取，则，,反之，则，。
由将。代入，得到。
所以。所以说要减少1**得投资，增加2，3**得投资。
要保证+0, +1即0, 1
综上所述。由此可见，当时，收益率最大。
此时 套利组合为（0.4749，-0.3333，0.5251）。
增加的期望收益率为。
**与期权。
1 期现套利：
期现套利是指利用某种商品**合约，当**市场与现货市场再**上出现差距，从而利用两个市场的**差距，低买高卖而获利。理论上，****是商品未来的**，现货**是商品目前的**，按照经济学上的同一**理论，两者间的差距，即“基差”（基差=现货**-****）应该等于该商品的持有成本。一旦基差与持有成本偏离较大，就出现了期现套利的机会。
其中，现货**要高出现货**，并且超过用于交割的各项成本。期现套利主要包括正向买进期现套利和反向买进期现套利两种。
2 跨期套利：
跨期套利是指在同一市场（即同一交易所）同时**、卖出同种商品不同交割月份的**合约，以期在有利时机同时将这两个交割月份不同的合约对冲平仓获利，这种套利交易形式是套利交易中最普通的一种。导致不同合约月**差的主要原因是资金不均衡作用和季节性因素，有时资金主要集中在某一个合约上角逐，使得合约的波动速度要明显快于其他合约，这就意味着套利机会的来临。跨期套利最明显的好处是容易掌握，考虑因素相对比较简单，而且结算在同一交易所进行，不需要划转资金，容易实现账面平衡。
3 跨商品套利。
跨商品套利是指利用两种不同的，但相互关联的商品之间的**合约**差异进行套利交易，即**某一交割月份某种商品的**合约，同时卖出另一相同交割月份、相互关联的商品**合约，以期在有利时机同时将这两种合约对冲平仓获利。跨品种套利通常有两种情况：一种是同一市场的不同品种，比如大连豆粕与大豆之间的套利，上海铜与上海铝之间的套利，郑州强麦与硬麦之间的套利等；另一种是不同市场的不同品种，比如大连大豆与郑州小麦之间的套利，大连豆粕与郑州小麦之间的套利等。
对于同一市场的不同品种而言，主要考虑两个合约之间己经出现的价差和后期价差动态，从这个意义上来说，其与跨期套利没有什么两样。
4 跨市场套利。
跨市场套利是指在某个交易所**（或卖出）某一交割月份某商品合约的同时，在另以个交易所卖出（或**）同一交割月份的同种商品合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的合约获利。在做跨市场套利交易时应注意影响市场间**差异的儿个因素：(1)运输成本。
不同交易所因与商品产地、销地的距离不同，运输成本就不同，同种商品的合约**自然会有差异。(2)交割品级的差异。(3)当地的供求状况。
跨市场套利既可在国内的不同交易所之间进行，也可以在不同国家的交易所之间进行。
选择跨市套利：
我们以某公司为例进行伦铜和沪铜之间的跨市套利案例进行分析：a公司在日常经营中，该企业充分利用自身在信息及**渠道上的优势，在国内外金属价差合适时，通过跨市场套利来获取低风险稳定收益。
2023年2月中旬，受国储收储及国家即将出台有色金属产业振兴规划等好消息的影响，沪铜走势明显强于伦铜，由此导致两市比价持续走高，到了2月23日，两市3月合约比价升至8.73，现货进口盈利1700元/吨，均处于近阶段的相对高位。基于以下原因，该公司决定进行跨市场套利操作：
（1）目前，剔除汇率因素影响后的两市3月比值为8.33/6.867=1.21，处于统计意义上的小概率区间。
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