18. 如图所示，为正方形，平面，过且垂直于的平面分别交，，于，，．
求证：．19. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，，，
求证：是异面直线与的公垂线．
20. 如图，直角所在平面外一点，且，点为斜边的中点．
1)求证：平面；
2)若，求证：面．
21. 如图所示，平面平面，，在上取线段，，分别在平面和平面内，且，，，求长．
答案。19答案：证明：底面，．已知，面．．又，且．是矩形，．
又，，平面．又，平面．
是异面直线与的公垂线．
20答案：证明：（１为的中点，．
连结．在中，则．，．
又，面．２），为的中点，．
又由（１）知面，．于是垂直于平面内的两条相交直线． 面．
21答案：解：连结．，，是直角三角形．在中， ，在中，．长为．
14、如图，设三角形abc的三个顶点在平面的同侧，a⊥于，b⊥于，c⊥于，g、分别是△abc和△的重心，求证：g⊥
15、如图2.3.1-3，mn是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，求证：mn⊥平面α．
14、解：连接ag并延长交bc于d，连并延长交于 ，连d、g，由于 a⊥，b⊥，c⊥，则a∥b∥c因为，所以g∥a，因此g⊥
15、证明：过相交直线a和mn作平面β，设α∩βa′，a∥α．
a∥a′ mn是a、b的公垂线，∴mn⊥a，于是mn⊥a′．
同样过相交直线b和mn作平面γ，设α∩γb′，则可得mn⊥b′．
a′、b′是α 内两条相交直线，∴mn⊥α．
例2、如图，正方体abcd—a1b1c1d1中，e在a b1上，f在bd上，且b1e＝bf.
1）求直线ab1 和平面a1b1c1d1 所成的角大小；
2)求证：ef∥平面bb1c1c；
解析：（1）解： ∵aa1⊥平面a1b1c1d1
∴a1b1 是斜线 ab1 在平面a1b1c1d1 内的射影。
为直线ab1 和平面a1b1c1d1 所成的角。
= ∴直线ab1 和平面a1b1c1d1 所成的角为。
2) 证法一：连结b1m.
ad∥bc ∴△afd∽△mfb
又∵bd＝b1a，b1e＝bf∴df＝ae ∴
ef∥b1m，b1m平面bb1c1c，∴ef∥平面bb1c1c.
证法二：作fh∥ad交ab于h，连结he ∵ad∥bc ∴fh∥bc，bcbb1c1c
fh∥平面bb1c1c
由fh∥ad可得又bf＝b1e，bd＝ab1 ∴
eh∥b1b，b1b平面bb1c1c ∴eh∥平面bb1c1c， eh∩fh＝h
平面fhe∥平面bb1c1c ef平面fhe ∴ef∥平面bb1c1c
例3、如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）abc—a1b1c1中，f是a1c1的中点，
1）求证：平面afb1⊥平面acc1a1；
2）求证：bc1//平面afb1。
解析：（1）在正三棱柱abc—a1b1c1中，aa1⊥平面a1b1c1，又∵b1f平面a1b1c 1 ，aa1⊥b1f，在正三角形a1b1c 1中，b1f⊥a1c 1
又∵aa1∩ a1c 1= a1
b1f⊥平面acc1a1
又∵b1f平面a f b1 ，平面afb1⊥平面acc1a1
2）连结a1b交ab1于g点，连结fg
四边形abb1a1为平行四边形， ∴a1g=bg
又∵a1f=c1f ∴fg// bc1
又∵fg平面afb1 bc1平面afb1
bc1//平面afb1
例4、如图，abcd是正方形，o是正方形的中心，po底面abcd，e是pc的中点。
求证：（1）pa∥平面bde
2）平面pac平面bde
3）求二面角e-bd-a的大小。
证明：（１o是ac的中点，e是pc的中点，∴oe∥ap，又∵oe平面bde，pa平面bde，∴pa∥平面bde
2）∵po底面abcd，∴pobd，又∵acbd，且acpo=o∴bd平面pac，而bd平面bde，∴平面pac平面bde。
3）由（2）可知bd平面pac，∴bdoe，bdoc，∠eoc是二面角e-bd-c的平面角。
∠eoa是二面角e-bd-a的平面角）
在rt△poc中，可求得oc=，pc=2
在△eoc中，oc=，ce=1，oe=pa=1
∴∠eoc=45°∴∠eoa =135°，即二面角e-bd-a大小为135°。
10、已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中点。
ⅰ）证明：面pad⊥面pcd；
ⅱ）求ac与pb所成的角；
ⅲ）求面amc与面bmc所成二面角的大小。
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