数学精练（23）
1．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形。
的中心。 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最。
大值为 ▲
答案：122．若对任意的都成立，则的最小值为 ▲
答案：3．如图，在平面直角坐标系xoy中，f1，f2分别为椭圆。
)的左、右焦点，b，c分别为椭圆。
的上、下顶点，直线bf2与椭圆的另一交点为。 若。
则直线的斜率为 ▲
答案：4．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d>0）的等差数列，后三项。
依次成公比为q的等比数列。 若，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ 答案：
在斜三角形中，角a，b，c的对边分别为 a，b，c.
1）若，求的值；
2）若，求的值。
解：（1）由正弦定理，得．
从而可化为3分。
由余弦定理，得．
整理得，即7分。
（2）在斜三角形中，所以可化为，即10分。
故．整理，得12分。
因为△abc是斜三角形，所以sinacosacosc，所以14分。
如图，在六面体中，，，求证：
证明：（1）取线段的中点，连结、，因为，所以3分。
又，平面，所以平面．
而平面，所以7分。
2）因为，平面，平面，所以平面9分。
又平面，平面平面，……11分。
所以．同理得，所以14分。
将52名志愿者分成a，b两组参加义务植树活动，a组种植150捆白杨树苗，b组种植200捆。
沙棘树苗．假定a，b两组同时开始种植．
1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时。应如何分配a，b两组的人数，使植树活动持续时间最短？
2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从a组抽调6名志愿者加入b组继。
续种植，求植树活动所持续的时间。
解：（1）设a组人数为，且，则a组活动所需时间2分。
b组活动所需时间4分。
令，即，解得．
所以两组同时开始的植树活动所需时间。
6分。而故．
所以当a、b两组人数分别为时，使植树活动持续时间最短．……8分。
（2）a组所需时间为1+（小时），…10分。
b组所需时间为（小时）， 12分。
所以植树活动所持续的时间为小时14分。
如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．
1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．
①证明：动圆圆心c在一条定直线上运动；
动圆是否经过定点？若经过，求出定点的。
坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设直线的方程为，即．
因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为3分。
化简，得，解得或．
所以直线的方程为或6分。
（2）①证明：设圆心，由题意，得，即．
化简得，即动圆圆心c在定直线上运动10分。
②圆过定点，设，则动圆c的半径为．
于是动圆c的方程为．
整理，得14分。
由得或。所以定点的坐标为16分。
已知函数．1）设p，q是函数图象上相异的两点，证明：直线pq的斜率大于0；
2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．
解：（1）由题意，得．
所以函数在r上单调递增．
设，，则有，即6分。
（2）当时，恒成立8分。
当时，令，①当，即时，所以在上为单调增函数．
所以，符合题意10分。
②当，即时，令，于是．
因为，所以，从而．
所以在上为单调增函数．
所以，即，亦即12分。
i）当，即时，所以在上为单调增函数．于是，符合题意．……14分。
ii）当，即时，存在，使得。
当时，有，此时在上为单调减函数，从而，不能使恒成立．
综上所述，实数的取值范围为16分。
设数列{}的各项均为正数。若对任意的，存在，使得成立，则称。
数列{}为“jk型”数列．
1）若数列{}是“j2型”数列，且，，求；
2）若数列{}既是“j3型”数列，又是“j4型”数列，证明：数列{}是等比数列。
解：（1）由题意，得，，，成等比数列，且公比，所以4分。
（2）证明：由{}是“型”数列，得。
成等比数列，设公比为6分。
由{}是“型”数列，得。
成等比数列，设公比为；
成等比数列，设公比为；
成等比数列，设公比为；
则，，．所以，不妨记，且12分。
于是，所以，故{}为等比数列．
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