一、选择题。
1. d2. d
3. c4. c
5. c二、填空题。
三、计算题。
在中， 3分。
2）连接．在梯形中，在四边形中，
四边形是平行四边形， ，即为等腰三角形．
四、证明题。
12. （1）证法一：连接bd，则bd过点o．
ad∥bc， ∴obm=∠odn．
又ob=od， ∠bom=∠don，
△obm≌△odn
bm=dn证法二：∵矩形abcd是中心对称图形，点o是对称中心．
b、d和m、n关于o点中心对称．
∴bm=dn．
2）证法一：∵矩形abcd，ad∥bc，ad=bc
又bm=dn， ∴an=cm．
∴四边形amcn是平行四边形．
由翻折得，am=cm
四边形amcn是菱形．
证法二：由翻折得，an=nc，am=mc，amn=∠cmn．
ad∥bc， ∴anm=∠cmn．
∠amn=∠anm． ∴am=an．
am=mc=cn=na．
四边形amcn是菱形．
3）解法一：∵，又：=1︰3，dn︰cm=1︰3
设dn=k，则cn=cm=3k．
过n作ng⊥mc于点g，则cg=dn=k，mg=cm-cg=2k．
ng=mn=
解法二：∵，又：=1︰3， ∴dn︰cm=1︰3
连接ac，则ac过点o，且ac⊥mn．
设dn=k，则cn=an=cm=3k，ad=4 k．cdoc=
mn=13. 解：（1）正确作出∠abc的平分线be
正确作出cf=de
（2）证明：由作图可知∠abe=∠fbe
abcd ∴ad∥bc
aeb=∠ebf（两直线平行，内错角相等)
aeb=∠abe
ab=ae（等角对等边）
abcd ∴ad=bc
de=cf ∴ae=bf
ae∥bf
□abfe (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
四边形abfe是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
14. （1）∵ae⊥bc，af⊥cd，∴∠aeb=∠afd=90°．
四边形abcd是平行四边形，∴∠abe=∠adf．
△abe∽△adf
2）∵△abe∽△adf，∠bag=∠dah．
ag=ah，∴∠agh=∠ahg，从而∠agb=∠ahd．
△abg≌△adh．
四边形abcd是平行四边形，四边形abcd是菱形。
15. （1）解：．
理由如下：四边形和四边形都是平行四边形。
又四边形是平行四边形，．
2）证明：四边形和四边形都是平行四边形，又四边形是平行四边形，四边形是矩形．
16.解：（1）．
其证明如下：
是的平分线，．，
同理可证．． 3分。
2）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线． 3分。
3）当点运动到中点时，，，则四边形为，要使为正方形，必须使．，∴是以为直角的直角三角形，当点为中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形．
17.（1）证明：∵是等边三角形。
是中点。
梯形是等腰梯形．
2）解：在等边中，
3）解：①当时，则有。
则四边形和四边形均为平行四边形。
当时，则有。
则四边形和四边形均为平行四边形。
当或时，以p、m和a、b、c、 d中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．
此时平行四边形有4个．
为直角三角形。
当取最小值时，
是的中点，而。
五、应用题。
解：在矩形abcd中，∠a＝∠b＝90°，ab＝cd，∴∠aed与∠ade互余．
def＝90°，∴bef与∠aed互余．
ade＝∠bef．
def是等腰直角三角形，∴de＝ef．
ade≌△bef．∴ad＝be．
∵ad＋cd＝ad＋（2＋be）＝2ad＋2＝10．
ad＝4．六、开放题。
解：（1）四边形abcd为正方形。
2）解法①证明：在边上取一点，使，连接．，．
是正方形外角平分线．
解法②证明：过点作于．，．
平分，，∴
在和中，．3）解法① 在上存在一点，使得四边形是平行四边形．
证明：过点作，交于点，连接．，．
四边形是平行四边形．
解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形。
证明：在边上取一点，使，连接、、．
四边形为平行四边形。
七、动态几何。
20. （1）如图1，过点作于点。
为的中点，在中，
即点到的距离为。
2）①当点**段上运动时，的形状不发生改变．
同理。如图2，过点作于，∵
则。在中，
的周长=当点**段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则。
类似①，是等边三角形，∴
此时， 当时，如图4，这时。
此时， 当时，如图5，
则又。因此点与重合，为直角三角形．
此时， 综上所述，当或4或时，为等腰三角形．
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