电子科技大学 2008 至 2009 学年第 2 学期。
统计物理课程考试题（a卷）（120分钟） 考试形式： 闭卷考试日期：2024年5月23日。
课程成绩构成：平时 30 分， 期中 0 分， 实验 0 分， 期末 70 分。
一。 填空题（本题共 11 题，每空 3 分，总共 39 分）
1. 热力学理论中，最基本的热力学函数是温度、内能和熵。
2. 理想气体的体积膨胀系数为：。
3. 有如下物理量：温度，熵，压强，体积，摩尔热容量，内能，热量，广义力。在这些物理量中，是强度量的物理量是： 温度、压强、摩尔热容量和广义力。
4. 1 mol 理想气体，保持在室温下（k）等温压缩，其压强从1准静态变为10，则气体在该过程所放出的热量为焦耳。
5. 对于理想气体，假设在等温过程中体积膨胀为原来的10倍，则内能在初态和末态的比值为 1 。
6. 一物体在等温过程（）中放出的热量为，则在该过程中物体的热容量 。该过程物体的熵变为 －10 j/k。
7. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。
8. 有100个大小和颜色完全一样的球，放入到100个盒子中，每一个盒子只能放一个球，那么从统计物理的角度看，随机填充引起的熵为 0如果有一个人对这100个球都作了记号，然后再放入到这100个盒子，那么他作记号引起的熵变为 s=kln100
9. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是大于零的常数，则粒子的平均能量为。
10. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。
11. 设某一系统是由个位置固定的谐振子构成的，圆频率都为，那么该系统的配分函数为。
二。 简答题(本题共 2 题，总共 20 分)
1. 请解释，室温下电子对气体热容量没有贡献的原因。 (10分)
答：原子内电子的激发态和基态能量之差大概是1-10ev，即，相应的特征温度为即，通常情况下的温度和这个特征温度比较太小，因此，在一般温度下的热运动难以使得电子取得足够的能量而跃迁到激发态，因此电子冻结在基态，对热容量没有贡献。(10分)
2. 请说说你对玻色分布的理解。 (10分)
答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态数3分）
2）玻色系统是由自旋为整数的全同粒子构成的一个系统，它是一个量子系统，各个粒子是不可以分辨的，因此，要确定玻色系统的微观状态，就需要确定每一个微观状态的粒子数，玻色系统的每一个量子态的粒子数不受到任何限制。给出玻色系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数3分）
3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻色系统的最概然分布就是玻色分布4分）
三。 计算题(本题共 3 题，总共 41 分)
1. 将质量相同而温度分别为的两杯水在等压下绝热的混合，计算水温稳定后总的熵变。 (9分)
解：两杯水等压绝热混合后，终态的温度为， 以为状态参量，两杯水的初态分别为和，终态都为3分）
在压强保持不变时，焓的微分为：, 因此热力学基本方程：
3分）这样，两杯水的熵变分别为：
总的熵变为：
3分）2.（1）计算二维空间中（面积为），在内，自由粒子的量子态的数目。（4分）
2）计算计算二维空间中（面积为）的平衡辐射的平均总光子数。（4分）
3）计算二维空间中平衡辐射的普朗克公式以及内能公式。 (8分)
积分公式：）
答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为，根据周期性边界条件，二维自由粒子在和方向的动量分量的可能取值为：
因此，在内，可能的的数目为：
在内，可能的的数目为：
在面积内，在内，在内，自由粒子的量子态的数目为：
采用柱坐标，将角度部分积分掉，得到在面积内，在内，自由粒子的量子态的数目为：
4分）2）（真空中的）平衡辐射实际上可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，设某一种单色平面波的波矢为，圆频率为，则对于真空中的单色平面波，有线性色散关系：，这里为真空中的光速。代入到上式中，考虑到单色平面波有两个偏振方向，得到在面积内，在的圆频率范围内，光子的量子态的数目为：
根据玻色分布，一个量子态上的平均光子数为：
上式中，已经考虑到光子的化学势为零。因此在面积内，在的圆频率范围内，光子的数目为：
对上式进行积分，得到平均总光子数：
………4分）
3）在面积内，在的圆频率范围内，光子的能量为：
4分）这就是二维空间中平衡辐射的普朗克公式。对上式积分，可以得到平衡辐射总的内能：
4分）3.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：
这里，是面积。（6分）
2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为，试求 0 k 时电子气体的费米能量、内能和简并压强。(10分)
答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为，根据周期性边界条件，二维自由粒子在和方向的动量分量的可能取值为：
因此对于非相对论的自由粒子，能量为：
以单一指标代替，上式可以记为：
因此当有个粒子存在时，产生的压强为：
………6分）
（2）在面积内，在内，自由粒子的量子态的数目为：
2分）由于电子自旋为，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系，得到在内，自由电子的量子态的数目为：
根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：
在面积内，在内，自由电子的数目为：
在时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势4分）
面积内，在内，自由电子的能量为：
在时，对上式积分，得到自由电子的内能为：
2分）在时的简并压强为：2分）
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