2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学。注：解析仅代表个人观点，错误在所难免，谨此就教于各位。
参考公式：样本数据的方差。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上。
1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.
2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积 ★
3.函数的单调减区间为 ★
由得单调减区间为。
4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 ★ 所以，
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.
5，2.6，2.7，2.
8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ★
228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★
9.在平面直角坐标系中，点p在曲线上，且在第二象限内，已知曲线c在点p处的切线的斜率为2，则点p的坐标为 ★
10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ★
11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中 ★
4．由得，；由知，所以4。
12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号写出所有真命题的序号）.
1）（2）。13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点t，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为。
14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ★
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
设向量。1）若与垂直，求的值；
2）求的最大值；
3）若，求证：∥.
所以∥.16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，
求证：（1）∥
17．（本小题满分14分）
设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
1）求数列的通项公式及前项和；
2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆。
1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
2）设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标。或，点p坐标为或。
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为。如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为。
现假设甲生产a、b两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产a、b两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品a、b的单价分别为元和元，甲买进a与卖出b的综合满意度为，乙卖出a与买进b的综合满意度为。
1) 求和关于、的表达式；当时，求证： =
2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
4) 求和关于、的表达式；当时，求证： =
5) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
6) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
(2)当时，
由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
20．(本小题满分16分)
设为实数，函数。
1) 若，求的取值范围；
2) 求的最小值；
3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集。
4) 若，则。
5) 当时，
当时， 综上。
3)时，得，
当时，；
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