一、选择题。
1. （2024年北京市4分）已知梯形的上底长是3cm，它的中位线长是4cm，则它的下底长等于【 】
a．3cm b．3.5cm c．5cm d．5.5cm
2. （2024年北京市4分）如图，在平行四边形abcd中，ce是∠dcb的平分线，f是ab的中点，ab=6，bc=4，则ae：ef：fb为【 】
3. （2024年北京市4分）如图，在菱形abcd中，e是ab的中点，作ef∥bc，交ac于点f．如果ef=4，那么cd的长为【 】
4. （2024年北京市4分）如图，点a、d、g、m在半圆o上，四边形aboc、deof、hmno均为矩。
形，设bc=a，ef=b，nh=c，则下列各式中正确的是【 】
5. （2024年北京市4分）如图，在平行四边形abcd中，e是ad上一点，连接ce并延长交ba的延长线于点f，则下列结论中错误的是【 】
a、∠aef=∠dec b、fa：cd=ae：bc c、fa：ab=fe：ec d、ab=dc
答案】b。7.（2024年北京市4分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac，bd相交于点o，若ad=1，bc=3，则的值为【 】
又∵ad=1，bc=3，∴ 故选b。
二、填空题。
1. （2024年北京市大纲4分）如图，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，如果ad=4，bc=8，∠b=60°，那么这个等腰梯形的周长等于。
三、解答题。
1. （2024年北京市8分）已知：如图，在abcd中，e为ad中点，连接ce并延长交ba的延长线于f．
求证：cd=af．
2. （2024年北京市8分）已知：如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，∠d=120°，对角线ca平分∠bcd，且梯形的周长为20，求ac的长及梯形面积s．
3. （2024年北京市7分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd，延长cb到e，使eb=ad，连接ae．
求证：ae=ca．
答案】证明：连接bd，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd，ac=bd。
ad∥bc，eb=ad，∴aebd是平行四边形。
4. （2024年北京市7分）如图，在菱形abcd中，ae⊥bc于e点，ec=1，sinb= ，求四边形aecd的周长．
5. （2024年北京市5分）如图，在平行四边形abcd中，点e、f在对角线ac上，且ae=cf。请你以f为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连接。
（2）猜想。
（3）证明：
6. （2024年北京市6分）已知，如图，dc∥ab，且dc＝ab，e为ab的中点．
求证：△aed≌△ebc；
观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△ebc外，请再写出两个与△aed的面积相等的三角形。
直接写出结果，不要求证明。
2）根据等底等高的三角形面积相等可知与△aed的面积相等的三角形有△ced，△aec等。（答案不唯一）
7. （2024年北京市5分）已知：如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，点e、f分别在ab、dc上，且be=2ea，cf=2fd．求证：∠bec=∠cfb．
8. （2024年北京市大纲5分）已知：如图，bd为abcd的对角线，o为bd的中点，ef⊥bd于点o，与ad、bc分别交于点e、f。求证：de=df。
分析】通过证明oe=of，然后根据垂直平分线性质来得出de=df，要证明oe=of，证明三角形bof和三角形doe全等即可。
9. ．2024年北京市课标5分）已知：如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，∠c=45°，be⊥cd于点e，ad=1，cd=2 ．求：be的长．
10. （2024年北京市课标8分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
2）**：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
证明：过点d作df∥ac，在df上截取de，使de=ac，连接ce，be。
∴四边形aced是平行四边形。∴ce=ad，，∴
是等边三角形。
de=be=ac。
当bc与ce不在同一条直线上时（如图1），在中，有bc＋ce＞be，bc＋ad＞ac。
当bc与ce在同一条直线上时（如图2），则bc＋ce=be。
bc＋ad=ac。
综合①、②得bc＋ad≥ac。
考点】新定义，开放型，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，分类思想的应用。
分析】（1）矩形，正方形，等腰梯形等。（答案不唯一）
2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。通过构造平行四边形和等边三角形，分bc与ce不在同一条直线上和bc与ce在同一条直线上两种情况讨论即可。
11. （2024年北京市5分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc=ad，∠c=60°，ae⊥bd于点e，ae=1，求梯形abcd的高。
12. （2024年北京市8分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
2）如图，在△abc中，点d，e分别在ab，ac上，设cd，be相交于点o，若∠a=60°，∠dcb=∠ebc=∠a。请你写出图中一个与∠a相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
3）在△abc中，如果∠a是不等于60°的锐角，点d，e分别在ab，ac上，且∠dcb=∠ebc=∠a。**：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
13. （2024年北京市5分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥ac，∠b=450，，，求dc的长．
答案】解：如图，分别过点a，d作ae⊥bc于点e，df⊥bc于点f。
ae∥df。
14. （2024年北京市5分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b=,∠c=，ad=1，bc=4，e为ab中点，ef∥dc交bc于点f，求ef的长。
15. （2024年北京市5分）已知：如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc=ad=2，bc=4.求∠b的度数及ac的长。
16. （2024年北京市5分）如图，在△abc中，∠acb=90°，d是bc的中点，de⊥bc，ce∥ad，若ac=2，ce=4，求四边形aceb的周长．
答案】解：∵∠acb=90°，de⊥bc，∴ac∥de。
又∵ce∥ad，∴四边形aced是平行四边形。
de=ac=2。
17. （2024年北京市7分）在abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f．
1）在图1中证明ce=cf；
2）若∠abc=90°，g是ef的中点（如图2），直接写出∠bdg的度数；
3）若∠abc=120°，fg∥ce，fg=ce，分别连接db、dg（如图3），求∠bdg的度数．
ge=ec。①
gcf=∠gce=∠ecf=60°，∴ecg是等边三角形。
eg=cg，∠gec=∠egc。∴∠gec=∠fgc。∴∠beg=∠dcg。②
由ad∥bc及af平分∠bad可得∠bae=∠aeb，∴ab=be。
在abcd中，ab=dc，∴be=dc，③
由①②③得△beg≌△dcg（sas）。∴bg=dg，∠1=∠2。
bgd=∠1+∠3=∠2+∠3=∠egc=60°，bdg==60°。
考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质。
分析】（1）根据af平分∠bad，可得∠baf=∠daf，利用四边形abcd是平行四边形，求证∠cef=∠f即可。
2）根据∠abc=90°，g是ef的中点可直接求得。
3）分别连接gb、ge、gc，求证四边形cegf是平行四边形，再求证△ecg是等边三角形。由ad∥bc及af平分∠bad可得∠bae=∠aeb，求证△beg≌△dcg，然后即可求得答案。
18. （2024年北京市5分）如图，在四边形abcd中，对角线ac，bd交于点e，∠bac=900，∠ced=450，∠dce=900，de=，be=2．求cd的长和四边形abcd的面积．
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