【题型一】齐次方程组求解与解的结构判定。
例1】 求齐次方程组的基础解系___
例2】设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系( )
a) 不存在b) 仅含一个非零解向量。
c) 含有两个线性无关的解向量。 (d) 含有三个线性无关的解向量。
详解】由定理：若是的解，则是对应齐次方程组的解，及，得是的解。由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知。
由伴随矩阵的定义，知中至少有一个代数余子式即中有子式不为零，由的充要条件是的非零子式的最高阶为，故再由上面的，得，故基础解系所含向量个数为，故选(b).
例3】（11，1，2）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组ax=0的一个基础解系，则的基础解系可为 (
ab) (cd)
答案】(d)
详解：由于是方程组的一个基础解系，所以，且。
即，且。由此可得，即，这说明是的解。
由于，，所以线性无关。又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量。而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(d).
例4】设有齐次线性方程组。
试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
详解】方法1： 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有。
对是否为零进行讨论：
当时，，由齐次方程组有非零解的判别定理：设是矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是。 故此方程组有非零解，把代入原方程组，得其同解方程组为。
此时，，故方程组有个自由未知量。 选为自由未知量，将他们的组值分别代入式，得基础解系。
于是方程组的通解为。
其中为任意常数。
当时，对矩阵作初等行变换，有。
可知时，，由齐次方程组有非零解的判别定理， 知方程组也有非零解，把代入原方程组，其同解方程组为。
此时，，故方程组有个自由未知量。选为自由未量，取，由此得基础解系为，于是方程组的通解为，其中为任意常数。
方法2：计算方程组的系数行列式：，下面求矩阵的特征值：
则的特征值，由性质：若，则，因此对任意多项式，，即是的特征值。
故，的特征值为， 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得。
行列式。由齐次方程组有非零解的判别定理：设是阶矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是。 可知，当，即或时，方程组有非零解。
当时，对系数矩阵作初等行变换，有。
故方程组的同解方程组为。
此时，，故方程组有个自由未知量。选为自由未知量，将他们的组值分别代入式， 由此得基础解系为。
于是方程组的通解为。
其中为任意常数。
当时，即 ，其同解方程组为。
此时，，故方程组有个自由未知量。 选为自由未量，取，由此得基础解系为，于是方程组的通解为，其中为任意常数。
例5】已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且， 求线性方程组的通解。
详解】 由知，的每一列均为的解，且(3是的列数或的行数)
1) 若，不成比例，成比例，则， 方程组的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数，于是。
又矩阵的第一行元素不全为零，显然， 故。 可见此时的基础解系由个线性无关解向量组成，是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故的通解为：
为任意常数。
2) 若，则均成比例，故=1, 从而故或。
若， 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，是方程组的基础解系， 则的通解为：为任意常数。
若， 则的三个行向量成比例，因第1行元素不全为零，不妨设，则的同解方程组为：, 系数矩阵的秩为1，故基础解系由个线性无关解向量组成，选为自由未知量，分别取或，方程组的基础解系为，则其通解为为任意常数。
题型二】非齐次方程组求解与解的结构判定。
例6】（11，3）设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为( )
ab) cd)
答案】(c)
详解：由于是的三个线性无关的解，所以是的两个线性无关的解，即的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除a，b选项。
又因为，所以是的解，不是的解，故排除d选项，因此选c.
事实上，由于是的三个线性无关的解，所以是的两个线性无关的解，即的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即，故。由于，所以，故。这样，的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知是的一个基础解系。
因为是的解，所以，因此，所以是的一个特解。
由非齐次线性方程组解的结构，可知的通解为。
例7】已知非齐次线性方程组有个线性无关的解。
i) 证明方程组系数矩阵的秩；
ii) 求的值及方程组的通解。
详解】(i)系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解， 则是的两个线性无关的解。 因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2, 得， 从而。
又因为的行向量是两两线性无关的， 所以。 所以。
ii)对方程组的增广矩阵作初等行变换：
由， 得， 即。
所以作初等行变换后化为；，它的同解方程组。
中令求出的一个特解；
的同解方程组是。
取代入②得；取代入②得。 所以的基础解系为，
所以方程组的通解为：
为任意常数
例8】(10，1,2,3)设。
已知线性方程组存在两个不同的解。
i) 求，;
ii) 求方程组的通解。
解析：方法一：（i）已知有2个不同的解，对增广矩阵进行初等行变换，得。
当时，此时，，无解，所以。
当， 由于，所以。因此，，。
ii）原方程组等价为，即，。
的通解为，k为任意常数。
方法二：（i）已知有2个不同的。
又，即，知或-1。
当时，，此时，无解，。代入由得。
原方程组等价为，即，。
的通解为，k为任意常数。
例9】（09，1,2,3）设。
ⅰ)求满足的所有向量；
ⅱ)对(ⅰ)中的任意向量，证明：线性无关。
解析】(ⅰ对矩阵施以初等行变换。
可求得 ,其中为任意常数。
又，对矩阵施以初等行变换。
可求得 ,其中为任意常数。
ⅱ)解法1 由(ⅰ)知。
所以线性无关。
解法2 由题设可得。设存在数，使得。
等式两端左乘，得，即。
等式两端再左乘，得，即。
于是，代入②式，得，故。将代入①式，可得，从而。
线性无关。例10】已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解。
详解】方法1：记，由线性无关，及即可以由线性表出，故线性相关，及即可由线性表出，知。
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故有解。
对应齐次方程组，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成，是的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知的通解为，其中是对应齐次方程组的通解，是的一个特解，因。
故，故是的一个非零解向量，因为的基础解系中只含有一个解向量，故是的基础解系。又。即。
故是的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为。(其中是任意常数)
方法2：令，则线性非齐次方程为。
已知，故。将代入上式，得。
由已知线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得，上式成立当且仅当。
其系数矩阵为，因为3阶子式，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量，则方程组有解。
故方程组有通解。
(其中是任意常数)
例11】（08,1,2，3）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，i) 求证。
ii)为何值，方程组有唯一解，求。
iii)为何值，方程组有无穷多解，求通解。
详解】(i)证法一：
证法二：记，下面用数学归纳法证明．
当时，，结论成立．
当时，，结论成立．
假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得。
故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以
即 ii)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．
由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为。
所以 iii)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为。
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为。
为任意常数．
例12】设a 是n 阶矩阵，α是n维列向量。若秩秩，则线性方程组( )
ax =α必有无穷多解ax =α必有惟一解。
仅有零解必有非零解。
答案】详解】由题设，是n 阶矩阵，是n维列向量，即是一维行向量，可知是阶矩阵。 显然有秩秩即系数矩阵非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组必有非零解。
题型三】两个方程公共解，同解。
例13】设线性方程组。
与方程。有公共解，求得值及所有公共解。
【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得。
对联立方程组的增广矩阵作初等行变换。
由此知，要使此线性方程组有解，必须满足，即或。
当时，，联立方程组(3)的同解方程组为，由，方程组有个自由未知量。 选为自由未知量，取，解得两方程组的公共解为，其中是任意常数。
当时， 联立方程组(3)的同解方程组为，解得两方程的公共解为。
方法2：将方程组(1)的系数矩阵作初等行变换。
当时，，方程组(1)的同解方程组为，由，方程组有个自由未知量。选为自由未知量，取，解得(1)的通解为，其中是任意常数。 将通解代入方程(2)得，对任意的成立，故当时，是(1)、(2)的公共解。
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