今年的试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分；填空题6小题，每小题4分，共24分，解答题(包括证明题)9小题，共94分；均与2023年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲相同。
复习重点。一、行列式与矩阵。
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组。
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。
线性方程组(一般式)
还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。
1．齐次线性方程组与线性相关、无关的联系。
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质"零向量可由任何向量线性表示"。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性此方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。
故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2．齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系。
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是"极大线性无关组中的向量个数"。经过"秩→线性相关无关→线性方程组解的判定"的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
3．非齐次线性方程组与线性表示的联系。
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量。
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容--既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，"牵一发而动全身"。本章知识要点如下：
1．特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2．相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3．矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值；充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4．实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。
四、二次型。
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为"对于实对称矩
典型试题和详解。
一、单项选择题。
1．设a，b均为阶可逆矩阵，则 (
可逆可逆（为常数）；
可逆。2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中( )
. 必有一列元素全为0；
. 必有两列元素成比例；
. 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
. 任意列向量是其余列向量的线性组合．
3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则( )
.的列向量线性无关；
. 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；
. 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
. 线性方程组有唯一解．
4．设n阶矩阵a非奇异（n），a的伴随矩阵是，则 ( 成立。
5．对n元方程组( )
若ax=0只有零解，则ax=b有唯一解；
ax=0有非零解的充要条件是；
ax=b有唯一解的充要条件是r(a)=n；
若ax=b有两个不同的解，则ax=0有无穷多解。
二、填空题。
1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为
2．已知矩阵，且的秩，则 ．
3．已知线性方程组有解，则 ．
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则
必有一个特征值是 ．
5．若二次型是正定二次型，则。
的取值范围是 ．
三．设阶矩阵和满足条件：．
⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．
⑵ 已知矩阵，求矩阵．
四．当、为何值时，线性方程组。
有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
五． 设，求a的特征值与特征向量。
六． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：
七． 若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．
八． 已知三维线性空间的一组基底为，
求向量在上述基底下的坐标．
九．设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．求证：
⑴. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．
. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．
详解。一、单项选择题。
1． c 2． c 3．b 4．c 5． d
二、填空题（每小题3分，共15分。）
三．解：⑴ 由等式，得，即。
因此矩阵可逆，而且．
⑵ 由⑴知，，即。
四． 解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解．
⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．
此时，原线性方程组的通解为。
五．解：得，a的特征值为，
对应于特征值的特征向量为（）
对应于特征值的特征向量为（）。
六．所以第列可构成一个最大无关组。
七．所作的正交变换为。
八． 解：设向量在基底下的坐标为，则有。
写成线性方程组的形式，有。
即。得唯一解，因此所求坐标为．
九．证明：⑴. 设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有。
所以， ，但是，所以，但，所以．
⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得．
所以， 但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵相似．
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