【题型一】数值型行列式的计算。
例1】设多项式。
则的根得个数为是（ ）
a）1 （b）2 （c）3 （d）4
详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。
若均为阶方阵，则)
故有两个根，故应选(b).
例2】四阶行列式的值等于。
a） （b）
c）（d）解析】可直接展开计算，所以选(d).
例3】计算行列式的值为。
详解】：利用爪尖把某一行（列）化尽可能多的零。
题型二】 抽象型行列式的计算。
例4】设三阶方阵满足，其中为三阶单位矩阵，若，则。
分析】 先化简分解出矩阵，再计算行列式或者将已知等式变形成含有因子的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．
详解】方法1：由，知，即，易知矩阵可逆，于是有
再两边取行列式，得 ，因为， 所以 ．
方法2：由，得。
等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得。
约去，得 ．
例5】设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则。
详解】方法1：已知等式两边同时右乘，得，
由伴随矩阵的运算规律：，有，而。
于是有，移项、合并有，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有
而 故所求行列式为。
方法2：由题设条件，得
由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有
其中； 由伴随矩阵行列式的公式：若是阶矩阵，则。
所以， =9 ； 又 =1.
故。例6】设均为3维列向量，记矩阵，如果，那么 .
详解】方法1：因为，故 =，记，两边取行列式，于是有。
方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)
又因为，故。
例7】（10,2,3）设为3阶矩阵，且，则=.
答案：3详解：由于，所以。
因为，所以，因此。
例8】（08,3） 设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为三阶单位矩阵，则。
答案】3详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，，
所以。题型三】n阶行列式的计算。
例9】计算n阶行列式。
提示：按第一列展开即可。
例10】计算阶行列式。
详解： 例11】计算四阶行列式。
详解： 题型四】计算代数余子式线性组合的值：
例12】设4阶行列式，求。
题型五】证明。
例13】设是阶矩阵，b是阶矩阵，满足，证明。
详解】方法1：是矩阵，是矩阵，则是阶方阵，因。
当时，有．故。
方法2：是矩阵， 当时，，(方程组方程个数小于未知数的个数)方程组必有非零解，即存在，使得，两边左乘，得，即有非零解，故。
例14】设a是阶矩阵，满足，且，证明：
证明：（法一）若，则可逆，对，两边左乘得。
即，与题设矛盾，故a不可逆，即。
法二）由，的列向量是方程组的解。
又，所以有非零解，故。
法三）由。又，则，故。
第二章矩阵。
题型一】特殊矩阵求n次幂，即求。
1 型。例1】, 求。
详解： 2 型。
例2】，求。
详解： 相似对角化 ∽
例3】已知，且，则。
详解： 例4】设，，其中为3阶可逆矩阵。则。
详解】因为。
为对角阵，故有。
所以 所以 .
题型二】 有关矩阵的伴随或秩的命题。
伴随矩阵的秩：设a是阶矩阵，则
例5】为阶可逆，求。
类似题：均阶可逆，
例6】设a、b为阶矩阵，分别为、对应的伴随矩阵，分块矩阵。
则c的伴随矩阵（ ）
ab）cd）
类似题：（09，1,2,3）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为。
a). bcd).
解析】分块矩阵的行列式。
即分块矩阵可逆，且。
故答案为(b).
例7】 设，则。
详解： 题型三】 求矩阵的逆。
例8】设矩阵满足，其中为单位矩阵，则＝
详解】要求的逆，应努力把题中所给条件化成的形式。
由题设。即
故 .例9】设，为4阶单位矩阵，且则。
详解】先求出然后带入数值，由于，所以。
例10】（08,1，2，3）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，满足，则( )
不可逆，不可逆不可逆，可逆。
可逆，可逆可逆，不可逆。
答案】详解】，
故均可逆．例11】设，其中、分别是m阶和n可逆矩阵，证明矩阵可逆，并求其逆。
证明：设为阶可逆方阵，由可逆矩阵存在的充分必要条件，可得|a|≠0，|b|≠0，有
所以是可逆的。设。则。
由此得 所以
题型四】 与初等矩阵及初等变换有关的题。
例12】设为()阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵，分别为，的伴随矩阵，则( )
a) 交换的第1列与第2列得。 (b) 交换的第1行与第2行得。
c) 交换的第1列与第2列得。 (d) 交换的第1行与第2行得。
方法1：由题设，存在初等矩阵(交换阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得，(进行行变换，故左乘初等矩阵)，于是 ，又初等矩阵都是可逆的，故 ，又(行列式的两行互换，行列式反号)，，故。
即，可见应选(c).
方法2：交换的第一行与第二行得，即。
又因为是可逆阵，，故，所以可逆，且。
又，故，又因，故。
例13】设为三阶矩阵，,，则。
详解： 例14】设a为3阶矩阵，将a的第2列加到第1列得矩阵b，再交换b的第2行与第3行得单位矩阵，记，则a= (
a) (b) (c) (d)
详解：由于将的第2列加到第1列得矩阵，故。
即。由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故。
即故因此，故选(d)
题型五解矩阵方程。
一般情况下，经恒等变形之后有以下三种可能形式（、可逆）
例15】设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。
详解】题设条件
上式两端左乘，得
因为，所以
根据可逆矩阵的定义：对于矩阵，如果存在矩阵，使得，则称为可逆矩阵，并称是的逆矩阵，故均是可逆矩阵，且。
又 因为常数与矩阵相乘，的每个元素都要乘以，故。
所以。(对应元素相减)
用初等行变换求逆，当用初等行变换将矩阵化为单位矩阵时，经过相同的初等行变换，单位矩阵化成了，即。
故 例16】设矩阵的伴随矩阵且其中为4 阶单位矩阵，求矩阵。
分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘a ，再左乘，尽量不去计算。
详解】方法１：由知因此有。
于是，所以
等式两边先右乘 a，得
再左乘，得
化简 于是。
由初等变换法求得)
方法2: (同解1)，由得。
由初等变换法求得)，可见 a e 为逆矩阵。
于是，由有而。
因此。方法3：由题设条件，得。
知：，均是可逆矩阵，且。
由，其中，，得故。其中。
所以 例17】已知、、均为n阶，, 则。
a) (b) (cd)
方法1：由，得，根据逆矩阵的定义可知，均可逆，且。
由得，又可逆，上式两端右乘，得，把，代入，且根据逆矩阵的定义得。
方法2：因，得 (1)
得2)根据逆矩阵的定义由(1)可知，均可逆，且，代入(2)式得， ,
把和代入， 得。
或把代入， 得)
第三章向量。
例1】已知、均为n阶正交矩阵，求证：。
证明： （知）
为正交矩阵，故，所以。
即。例2】, 线性相关，
题型一】考察向量组关系的概念。
例3】设向量组i：可由向量组ⅱ：线性表示，则（ ）
a）当时，向量组ⅱ必线性相关；
b）当时，向量组ⅱ必线性相关；
c）当时，向量组i必线性相关；
d）时，向量组i必线性相关。
例4】向量线性相关的充分必要条件是（ ）
a)中至少有一个是零向量。
b)中至少有两个向量成比例。
c)中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。
d)中任一部分组线性相关。
例5】已知维向量组线性无关，则（ ）
a) 对任意一组数，都有。
b).c)中少于个向量构成的向量组**性相关。
d中任意两个向量**性无关。
例6】设向量组（ⅰ）
向量组（ⅱ）则必有。
a) 组（ⅰ）相关组（ⅱ）相关 (b) 组（ⅱ）相关组（ⅰ）无关
c) 组（ⅰ）相关组（ⅱ）无关 (d) 组（ⅰ）无关组（ⅱ）无关。
例7】（10,2,3） 设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是( )
a) 若向量组线性无关，则b) 若向量组线性相关，则。
c) 若向量组线性无关，则d) 若向量组线性相关，则。
题型二】证明向量组的无关相关。
例8】设a是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组线性无关。
证明设有数，使得。
式①两边左乘，得。
由题设条件，故。
从而得。由于，故，代入式①得。
将式③两边左乘，同上可证。
同理可证，从而得证。
例9】为齐次线性方程组。
的行向量，已知方程组（1）有非零解且行向量组的秩，证明向量组线性无关。
分析：是方程组（1）的非零解，即有。
表示成向量形式是。
即与都正交。利用正交性证明向量组线性无关。
证明：设有数，使得。
求（2）两边右乘，得。
因是方程组（1）的非零解，故有，且，从而由上式得。
将代入（2）式，由于，线性无关，故，又，故。
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