2023年山西省太原市初中数学竞赛试卷

一、选择题（每小题8分，共48分）

1．（8分）若 x2﹣12x+1=0，则x4+x﹣4的值的个位数字是（）

2．（8分）已知二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣（a＜b），且x1、x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣=0的两个根，则实数a、b、x1、x2的大小关系为（）

3．（8分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（）

4．（8分）方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）

5．（8分）当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4时，m=3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（）

6．（8分）如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△pad以点a为中心沿逆时针方向旋转，使ap与ab重合，如此继续分别以点b、c、d 为中心将三角形进行旋转，使点p回到原来位置为止，则点p从开始到结束所经过路径的长为（）

二、填空题（每小题9分，共36分）

7．（9分）y=的最大值是。

8．（9分）已知关于x的方程ax2=kx+b（abk≠0）的两个根为x1、x2，且kx+b=0（kb≠o）的根为x3，则x1、x2、x3所满足的等量关系式是。

9．（9分）如图，将△abc沿虚线de折叠，得到一个七边形adecfgh．若七边形和原三角形的面积比为2：3，且折叠后重叠部分面积为4，则原△abc的面积为。

10．（9分）一个袋子中装有5个形状、大小、材质都一样的小球，分别标有号码1～5．在看不到球的情况下，随机地从袋中摸出一个球，记下号码后放回，然后再从袋中摸出一个球．则第二次摸出的球的号码小于第一次摸出的球的号码的概率是。

三、解答题（共4小题，共66分）

11．（16分）已知反比例函数y=和一次函数y=kx﹣5的图象都经过点p（m，3）．

1）求k的值；

2）作直线平行于y轴，并且交一次函数的图象于点a，交反比例函数的图象于点b，设点a、b的横坐标为a．求a为何值时，有pa=pb？

12．（16分）已知二次函数y=x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2．

1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式；

2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．

13．（17分）求方程x2+6xy﹣7y2=2009的正整数解．

14．（17分）如图，已知ab是⊙0的直径，ac切⊙o于点a，连接co并延长交⊙0于点d、e，连接bd并延长交边ac于点f．

1）求证：adac=dcea；

2）若ac=nab（n∈n），求tan∠cdf的值．

参***与试题解析。